\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{article}
\usepackage{ngerman}
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\usepackage{a4wide}
\usepackage{dsfont}

\parindent0pt

\newcommand{\Mat}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\vctr}[1]{\boldsymbol{#1}}

\newcommand{\ZBR}{\mathds{R}}

\begin{document}

\textbf{\large Matrizen:}

\bigskip

 Eine $(m,n)$--Matrix $\Mat{A}$ ist ein
rechteckiges Schema reeller Zahlen mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten:
\begin{equation*}
    \Mat{A} \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
        \vdots & \vdots &        & \vdots \\
        a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
    \end{array}
    \right)
    \qquad
    \mbox{Kurzschreibweise:} \
    (a_{ik})_{i=1,\ldots,m}^{k=1,\ldots,n}
\end{equation*}

Die Zahlen $a_{ik}$ hei"sen \textbf{Elemente} oder
\textbf{Koeffizienten} der Matrix $\Mat{A}$.

Eine $(m,1)$--Matrix hei"st $m$--dimensionaler \textbf{Vektor}: \
$
    \vctr{a} \ = \
    \left(
    \begin{array}{c}
        a_{1} \\
        a_{2} \\
        \vdots \\
        a_{m}
    \end{array}
    \right)
$

\bigskip

\textbf{Gleichheit von Matrizen:} Zwei $(m,n)$--Matrizen $\Mat{A}$
und $\Mat{B}$ sind gleich, d.h. $\Mat{A} = \Mat{B}$, wenn alle
ihre Elemente gleich sind, d.h. $a_{ik} = b_{ik}$ f"ur alle
$i=1,\ldots,m$ und $k=1,\ldots,n$.

\bigskip

\textbf{\large Transposition einer Matrix:}

\bigskip

Die \textbf{transponierte Matrix} $\Mat{A}^T$ einer
$(m,n)$--Matrix $\Mat{A}$ erh"alt man durch Vertauschen der Zeilen
und Spalten von $\Mat{A}$.  $\Mat{A}^T$ ist demnach eine
$(n,m)$--Matrix:
\begin{equation*}
    \Mat{A}^T \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
        a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
        \vdots & \vdots &        & \vdots \\
        a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
    \end{array}
    \right)
\end{equation*}

\textbf{Beispiel:} \ $\Mat{A} = \left( \begin{array}{cc}
    1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right)
\quad \Longrightarrow \quad
 \Mat{A}^T = \left( \begin{array}{ccc}
    1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right)$

\bigskip
\medskip


\textbf{\large Spezielle Matrizen:}

\bigskip

Eine $(m,n)$--Matrix $\Mat{A}$ hei"st \textbf{quadratisch}, falls
$m=n$.

\smallskip

Eine quadratische Matrix $\Mat{A}$ hei"st \textbf{symmetrisch},
falls $\Mat{A} =
    \Mat{A}^T$.

\smallskip

Eine symmetrische $(n,n)$--Matrix $\Mat{E}$ der Form
\begin{equation*}
    \Mat{E} \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        1 & 0 & \cdots & 0 \\
        0 & 1 & \cdots & 0 \\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
        0 & 0 & \cdots & 1
    \end{array}
    \right)
\end{equation*}
hei"st $(n,n)$--\textbf{Einheitsmatrix} (d.h., auf der
\textbf{Hauptdiagonalen} stehen Einsen, sonst "uberall Nullen).

\bigskip

\textbf{\large Rechenoperationen und -regeln:}

\medskip

\begin{itemize}
\item \textbf{Addition/Subtraktion (von Matrizen gleichen Typs)}

\smallskip

Zwei $(m,n)$--Matrizen $\Mat{A}, \Mat{B}$ werden
addiert/subtrahiert, indem die einzelnen Elemente
addiert/subtrahiert werden:
\begin{equation*}
    \Mat{A} + \Mat{B} \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        a_{11}+ b_{11} & a_{12}+ b_{12} &
            \cdots & a_{1n}+ b_{1n} \\
        a_{21}+ b_{21} & a_{22}+ b_{22} &
            \cdots & a_{2n}+ b_{2n} \\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        a_{m1}+ b_{m1} & a_{m2}+ b_{m2} &
            \cdots & a_{mn}+ b_{mn}
    \end{array}
    \right)
     = \
    (a_{ik}+ b_{ik})_{i=1,\ldots,m}^{k=1,\ldots,n}
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \Mat{A} - \Mat{B} \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        a_{11}- b_{11} & a_{12}- b_{12} &
            \cdots & a_{1n}- b_{1n} \\
        a_{21}- b_{21} & a_{22}- b_{22} &
            \cdots & a_{2n}- b_{2n} \\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        a_{m1}- b_{m1} & a_{m2}- b_{m2} &
            \cdots & a_{mn}- b_{mn}
    \end{array}
    \right)
     = \
    (a_{ik}- b_{ik})_{i=1,\ldots,m}^{k=1,\ldots,n}
\end{equation*}

\item  \textbf{Multiplikation mit einer reellen Zahl}

\smallskip

Eine $(m,n)$--Matrix $\Mat{A}$ wird mit einer rellen Zahl
$\lambda$ ("`Lambda"') multipliziert, indem jedes Element mit
$\lambda$ multipliziert wird:
\begin{equation*}
    \lambda \Mat{A} \ = \
    \left(
    \begin{array}{cccc}
        \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
        \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
        \vdots & \vdots &  & \vdots \\
        \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
    \end{array}
    \right)
    \quad = \quad
    (\lambda a_{ik})_{i=1,\ldots,m}^{k=1,\ldots,n}
\end{equation*}

\item \textbf{Multiplikation passender Matrizen}

\smallskip

Ist $\Mat{A}$ eine $(m,p)$--Matrix und $\Mat{B}$ ein
$(p,n)$--Matrix, so hei"sen $\Mat{A}$ und $\Mat{B}$
\textbf{multiplizierbar} (d.h., die Anzahl der \textit{Spalten}
von $\Mat{A}$ muss mit der Anzahl der \textit{Zeilen} von
$\Mat{B}$ "ubereinstimmen).

\smallskip

Die Produktmatrix $\Mat{C} = \Mat{A} \cdot \Mat{B}$ ist eine
$(m,n)$--Matrix, und die Elemente $c_{ik}$ ergeben sich als
\textit{Skalarprodukt} (siehe Grundlagenwissen, Vektoren) der
$i$--ten Zeile von $\Mat{A}$ mit der $k$--ten Spalte von
$\Mat{B}$, also
\begin{align*}
c_{ik} \ = \ \sum\limits_{r=1}^p a_{ir} b_{rk} \qquad
(i=1,\ldots,m; \ k=1,\ldots,n).
\end{align*}


Die Durchf"uhrung der Matrizenmultiplikation kann mit Hilfe der
\textbf{Falk'schen Anordnung} erfolgen:
\begin{equation*}
\begin{array}{@{}rl}
    \Mat{B} \ = \
    \left(
    \begin{array}{c} b_{11} \\ \vdots \\ b_{p1}
          \end{array}
    \begin{array}{c} \cdots \\   \\ \cdots \end{array}
\fbox{$\begin{array}{c} b_{1k} \\ \vdots \\ b_{pk}
    \end{array}$}
    \begin{array}{c} \cdots \\   \\ \cdots \end{array}
    \begin{array}{c} b_{1n} \\ \vdots \\ b_{pn}
          \end{array}
    \right) \, &
\\
    \Mat{A} \ = \
    \left(
    \begin{array}{c}
        a_{11} \quad \cdots \quad a_{1p} \\
        \ \vdots \hfill \vdots \quad  \\
        \fbox{$a_{i1} \quad \cdots \quad a_{ip}$} \\
        \ \vdots \hfill \vdots \quad \\
        a_{m1} \quad \cdots \quad a_{mp}
    \end{array} \right) \
    \left(
    \begin{array}{c} c_{11} \\ \vdots \\ c_{i1} \\
        \vdots \\ c_{m1}          \end{array}
    \begin{array}{c} \cdots \\   \\ \cdots \\ \\ \cdots \end{array}
        \begin{array}{c} c_{1k} \\ \vdots \\ \fbox{$c_{ik}$} \\
            \vdots \\ c_{mk}
    \end{array}
    \begin{array}{c} \cdots \\   \\ \cdots \\ \\ \cdots \end{array}
    \begin{array}{c} c_{1n} \\ \vdots \\ c_{in} \\
        \vdots \\ c_{mn}          \end{array}
    \right) &  = \ \Mat{C}
\end{array}
\end{equation*}

\textbf{Beispiel:} $\quad \!
\Mat{B} = \left( \begin{array}{rrr} 4 & \ 7 & \ 6 \\
            -2 & 3 & 1 \end{array} \right)$

$\Mat{A} = \left( \begin{array}{rr}  0 & 3 \\
            4 & 2 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \
 \left( \begin{array}{rrr} -6 & 9 & 3 \\
            12 & 34 & 26 \\
            4 & 7 & 6 \end{array} \right)
= \Mat{C}$

\bigskip

\textbf{Bemerkungen:}
\begin{itemize}
\item
Im Allgemeinen gilt: \ $\Mat{A} \cdot \Mat{B} \ \neq \ \Mat{B}
\cdot \Mat{A}$
\item Es muss zwischen der
\textbf{Multiplikation von rechts} und der \textbf{Multiplikation
von links} unterschieden werden.
\end{itemize}

\end{itemize}


\textbf{\large Rechenregeln:}

\medskip

\begin{itemize}
\item   $\Mat{A} + \Mat{B} = \Mat{B} + \Mat{A}$ \item   $(\Mat{A}
+ \Mat{B})^T = \Mat{A}^T + \Mat{B}^T$ \item   $\lambda \in \ZBR: \
\lambda (\Mat{A} + \Mat{B}) = \lambda \Mat{A} + \lambda \Mat{B}$
\item   $\Mat{A} \cdot (\Mat{B} + \Mat{C}) = \Mat{A} \cdot \Mat{B}
+
    \Mat{A} \cdot \Mat{C}$ \qquad
    (i. Allg. $\neq (\Mat{B} + \Mat{C}) \cdot \Mat{A}$!)
\item   $\Mat{E} \cdot \Mat{A} = \Mat{A} \cdot \Mat{E} = \Mat{A}$ \qquad \quad
    ($\Mat{E}$ \ -- \ Einheitsmatrix)
\item   $(\Mat{A} \cdot \Mat{B})^T = \Mat{B}^T \cdot \Mat{A}^T$ \qquad \
    (Reihenfolge beachten!)
\item   $\lambda \in \ZBR:\ \lambda \Mat{A} + \Mat{A} \cdot
\Mat{B} =
    \Mat{A} \cdot (\lambda \Mat{E} + \Mat{B})$
\end{itemize}

\end{document}
