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Was sind Geometrische Methoden?

Die räumliche Vorstellung ist ein zentraler Bestandteil des dem Menschen angeborenen Modells der Wirklichkeit.  Bilder von Viren, Schienennetzen oder Galaxien helfen, die dargestellten Systeme zu verstehen. Sie veranschaulichen deren innere Struktur, der Betrachter entdeckt instinktiv Zusammenhänge. Geometrische Methoden in der Mathematik sollen in ähnlicher Weise abstrakte Objekte z.B. aus der Algebra, der mathematischen Physik oder der theoretischen Informatik unserer geometrischen Intuition zugänglich machen.  
     Hier am Lehrstuhl interessieren uns insbesondere Teilgebiete der Algebra, welche in manchen Spezialfällen oder konkreten Beispielen geometrische Bedeutung erlangen, nicht aber in voller Allgemeinheit. Wir versuchen dann, die geometrische Denkweise auch jenseits des eigentlichen Gültigkeitsbereiches einzusetzen, und gleichzeitig durch die allgemeinere Sichtweise klassische Gebiete der Geometrie von neuer Warte aus zu betrachten und zu überdenken.
     Wir studieren zum Beispiel Quantengruppen – Objekte, die rein formal in einer ähnlichen Sprache beschrieben werden wie Symmetrien in der Geometrie, und die tatsächlich erklären, warum manche Systeme ohne wirkliche Symmetrien sich so verhalten, als wären sie hochsymmetrisch.
     Ein anderer Forschungsschwerpunkt ist die nichtkommutative Geometrie. Hier betrachtet man hypothetische Verallgemeinerungen des Euklidischen Raumes mit kartesischen Koordinaten x, y, z , von denen man nur annimmt, dass sie gewissen Rechenregeln unterliegen, wobei allerdings nicht notwendigerweise xy = ýx gilt.
Punkte, Kurven, Flächen gibt es in diesem Raum nicht, sondern nur den nichtkommutativen Koordinatenring.
Wie in den letzten Jahrzehnten klar wurde, lassen sich dennoch weite Teile der Geometrie und Analysis auf erstaunlich klassische Weise in diesem Kontext entwickeln, und diese Techniken kommen dann unter anderem in physikalischen Modellen zum Einsatz.
     Für Details verweisen wir auf die Forschungsseiten der Arbeitsgruppe.