Neues DFG-Projekt zum algorithmisier­ten Reglerentwurf: Nichtlinearer Reglerentwurf mittels Quantorenelim­ination

Bei etlichen modernen Entwurfsverfahren für Regelungen (z.B. Backstepping) bestehen erhebliche Freiheiten zur konkreten Gestaltung des Regelgesetzes. Diese Spielräume beim Reglerentwurf lassen sich prinzipiell nutzen, um den Regler hinsichtlich der vorgegebenen Anforderungen und gewünschten Eigenschaften auszulegen. Tatsächlich ist allerdings schon die exakte mathematische Beschreibung der bestehenden Entwurfsfreiheitsgrade nicht einfach. Auch standen diese Entwurfsfreiheiten, die sehr individuelle Anpassungen erlauben, bisher einem automatisierten Entwurf, wie er beispielsweise bei der exakten Eingangs-Ausgangs-Linearisierung möglich ist, entgegen.

Das wichtigste Entwurfsziel einer Regelung ist die Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei nichtlinearen System werden Stabilitätsforderungen an den geschlossenen Regelkreis in aller Regel über Ljapunov-Ansätze formuliert, aus denen man bisher durch geschickte Abschätzungen den Regler bzw. die Reglerparameter ermittelt hat. Durch diese Abschätzungen wird man allerdings oft auf konservativ ausgelegte Regler geführt.

Die über Ljapunov-Ansaätze formulierten Stabilitätsbedingungen beruhen auf quantorenbehafteten (pränexen) Aussagen. Mittels Quantorenelimination (QE) überführt man eine Aussage mit Quantoren zu einer äquivalenten quantorenfreien Aussage. Theoretische Grundlage für diese Herangehensweise ist das Taski-Seidenberg-Theorem. Erste Ansätze zur Durchführung der Quantorenelimination wurden schon in der Mitte des letzten Jahrhunderts entwickelt, waren aber aufgrund der algorithmischen Komplexität nicht praktisch einsetzbar. In den letzten Jahrzehnten gab es signifikante Weiterentwicklungen bei den zur Quantorenelimination eingesetzten Algorithmen, so dass mittlerweile auch Software-Werkzeuge für nicht triviale Anwendungen zur Verfügung stehen.

Methoden der Quantorenelimination fanden in der Regelungstechnik bisher nur vereinzelt, dann auch nur bei sehr einfachen, fast ausschließlich linearen Systemen, Anwendung.

Das Ziel des Forschungsprojekts besteht darin, typische Entwurfsprobleme bei der Regelung nichtlinearer Systeme mittels Quantorenelimination zu lösen. Der Übergang von einer quantorenbehafteten Stabilitätsformulierung zur konkreten Reglerauslegung soll damit algorithmisiert werden.