Forschung

Die Professur arbeitet an nichtautonomen dynamischen Systemen, an Systemen also, deren Regeln sich mit der Zeit ändern. Für autonome Systeme ist die Theorie weit entwickelt. Sobald die Zeit mitspielt, verlieren viele der klassischen Begriffe ihre Grundlage. Genau dort setzt die Arbeit an. Welche Begriffe von Spektrum, Hyperbolizität, Normalform und Stabilität bleiben tragfähig, wenn das System sich selbst verändert, und was tritt an die Stelle derer, die es nicht tun?

Forschungslinien

Spektral- und Dichotomientheorie nichtautonomer Systeme

Für zeitabhängige Gleichungen ist nicht von vornherein klar, was ein Spektrum überhaupt sein soll. Die Arbeiten entwickeln das Dichotomiespektrum als Antwort und prüfen, wie weit es trägt: in nichtuniformer Form, für Differenzengleichungen, auf Zeitskalen. Jüngste Linie ist die Bohl-Dichotomie, ein Begriff, der dort greift, wo die exponentielle Dichotomie versagt. Gemeinsam mit Adam Czornik (Gliwice) und Konrad Kitzing.

Steuerungstheorie und Stabilisierung zeitvarianter Systeme

Wieviel Spektrum lässt sich einem zeitvarianten System durch Rückkopplung vorschreiben, und wann genügt dafür lokale Information? Die Frage der Zuweisbarkeit des Dichotomiespektrums verbindet die Spektraltheorie mit der Regelungstechnik. Sie ist der Kern der Zusammenarbeit mit der Schlesischen Technischen Universität in Gliwice.

Bifurkationstheorie und nichtautonome Normalformen

Normalformen, Linearisierung und Glättung, wenn der Zeitverlauf selbst Teil des Problems ist. Die klassischen Sätze von Hartman-Grobman, Poincaré und Sternberg werden auf den nichtautonomen Fall übertragen. Invariante Faserbündel treten an die Stelle invarianter Mannigfaltigkeiten.

Finite-Time-Dynamik und Lyapunov-Methoden

Die asymptotische Theorie fragt, was für t → ∞ geschieht. Beobachtbar ist aber immer nur ein endliches Zeitfenster. Diese Linie entwickelt Begriffe von Hyperbolizität, Entropie und Spektrum, die ohne den Grenzwert auskommen. Sie findet damit kohärente Strukturen in Strömungen, die die klassische Theorie nicht sieht.

Fraktionale Differentialgleichungen und Hilbertraum-Methoden

Gleichungen mit Gedächtnis, funktionalanalytisch gefasst: Stabilität, invariante Mannigfaltigkeiten und Wohlgestelltheit fraktionaler Systeme im Hilbertraum. Gemeinsame Arbeiten mit Rainer Picard (TU Dresden), Sascha Trostorff (Kiel), Marcus Waurick (Freiberg), Kai Diethelm und der Gruppe um Doan Thai Son am Institut für Mathematik der Vietnamesischen Akademie der Wissenschaften in Hanoi.

Anwendungen: Biologie, Netzwerke, Elektrodynamik

Die Grundlagenforschung reicht bis in konkrete Modelle: Schädlingsbekämpfung und Dengue-Übertragung, Netzwerke gekoppelter Systeme und ihre Stabilität, ein Sturmschutzsystem für Gebäude. Dazu kommt eine geometrische Neulesung der Maxwellschen Gleichungen.

Kooperationen

Ständige Partner der Professur sind:

• Institut für Mathematik der Vietnamesischen Akademie der Wissenschaften, Hanoi. Doan Thai Son (Direktor des Instituts, 2009 an der TU Dresden promoviert), Nguyen Dinh Cong, Hoang The Tuan und Luu Hoang Duc (derzeit am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig): fraktionale Differentialgleichungen, Finite-Time-Dynamik, zufällige dynamische Systeme
• Schlesische Technische Universität Gliwice. Adam Czornik, Artur Babiarz und Michał Niezabitowski (Institut für Automatisierungstechnik): Spektral- und Steuerungstheorie zeitvarianter Systeme
• Escuela Superior Politécnica del Litoral, Guayaquil. Joseph Páez Chávez: numerische Bifurkationsanalyse und Anwendungen in Biologie und Technik
• Westböhmische Universität Pilsen. Petr Stehlík: dynamische Systeme auf Graphen und Zeitskalen
• TU Bergakademie Freiberg und Universität Kiel. Marcus Waurick und Sascha Trostorff: Hilbertraum-Methoden für evolutionäre Gleichungen

Publikationen

Die Arbeiten zu diesen Forschungslinien sind auf der Publikationsseite nach denselben Linien gegliedert. Die vollständige Liste wird laufend aus dem Forschungsinformationssystem der TU Dresden aktualisiert.