Bisherige Themen im Überblick

Geometrische Mechanik

• Lagrange und Hamilton Mechanik; Symplektische Geometrie
• Erzeugendenfunktionen kanonischer Transformationen
• Hamilton-Jacobi Theorie, Winkel- und Wirkungsvariablen, Satz von Liouville-Arnol'd
• Theoreme von Liouville, Poincaré-Cartan, Kolmogorov-Arnol'd-Moser, Poincaré-Birkhoff, ...
• geometrische Optik und parametrische Variationsprobleme
• zeitabhängige Systeme

Dynamische Systeme und Ergodentheorie

• Ergodizität, Klassifikation chaotischer Systeme
• Poincaré Rückkehrsatz
• Lyapunov Exponenten und Kolmogorov-Sinai Entropie
• invariante Maße; SRB-Maße
• dynamische Verbände
• dissipative und offene Systeme, asymptotisches Verhalten, Grenzmengen
• Ergodizität in in klassischen und quantendynamischen Systemen

Statistische (Quanten-)Mechanik und Thermodynamik

• topologische und maßtheoretische Entropie-Begriffe und deren Zusammenhang
• Entropie und Dimension
• Axiomatische Thermodynamik (algebraisch und topologisch)
• Gibbs- und KMS-Zustände

Nichtlineare Dynamik

• Hartman-Grobman Theorem; centre manifold theorem, ...
• Hyperbolische Systeme, Anosov-Diffeomorphismen, Axiom-A-Abbildungen
• Bifurkationen
• Fraktale, Hausdorff-Maß und -Dimension, Renyi-Dimension
• Symbolische Dynamik
• Transportbarrieren in Hamiltonschen Systemen, Rückkehrzeitverteilungen

Semiklassische Methoden

• WKB-Näherung und EBK-Quantisierung; Methode der stationären Phase
• invariante Tori und elliptische Bahnen in der Quantenmechanik
• Pseudodifferentialoperatoren und Weyl-Quantisierung
• Pfadintegralformalismus
• Spurformeln
• Quantenergozität, Theoreme von Szegö und Egorov
• Mikrolokale Analysis
• Analogie KM & QM: Takhtajan; Algebren; Lagrange Untermannigfaltigkeiten

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie

• verallgemeinerte Eigenvektoren
• Schrödinger Operatoren und Floquet-Lösungen
• offene Systeme und metastabile Resonanzzustände
• Fockraum
• Heisenberg-Algebra und -Gruppe
• geometrische Quantisierung
• Kähler- und Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten
• Clifford-Algebra und Spinoren
• Lie-Gruppen und -Algebren
• Homologie und Kohomologie, de Rham
• Eichfelder; geometrische Phasen
• Lagrange Untermannigfaltigkeiten und -Ideale
• Algebraische Quantenfeldtheorie
• Operatoralgebren: GNS-Konstruktion, von-Neumann Algebren, Tomita-Takesaki modular theory
• Wick-Theorem
• Dyson-Reihe
• Nicht-selbstadjungierte Operatoren mit reellem Spektrum (PCT-Symmetrie)
• Wigner-Theorem

Feldtheorie

• Maxwellgleichungen (koordinatenfreie Formulierung)
• Maxwellgleichungen und Lorentzkraft
• Lagrangesche Formulierung der Elektrodynamik
• Maxwellgleichungen: Lösungstheorie
• Spezielle Relativitätstheorie
• Allgemeine Relativitätstheorie

Mathematische Gebiete (mit Anwendung in der math. Phys.)

• Hodge Theorie
• Kategorientheorie
• nicht-kommutative Geometrie
• nicht-lineare Funktionalanalysis
• nicht-glatte Analysis