Vorlesung - Algebraische Topologie
Die algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das topologische Räume (oder auch Lagebeziehungen im Raum wie zum Beispiel in der Knotentheorie) mit Hilfe von algebraischen Strukturen untersucht. Sie ist eine Teildisziplin der Topologie.
Die Grundidee besteht darin, gewissen topologischen Räumen, zum Beispiel Teilmengen des Anschauungsraums wie Kugeln, Tori oder deren Oberflächen, gewisse algebraische Strukturen wie zum Beispiel Gruppen oder Vektorräume zuzuordnen, und das auf eine Weise, dass verwickelte Verhältnisse auf Seiten der topologischen Räume sich vereinfacht auf Seiten der algebraischen Strukturen wiederfinden und so einer Behandlung zugänglich werden.
Ein wesentliches Ziel der Topologie ist es, alle topologischen Räume bis auf Homöomorphie zu klassifizieren. Dieses Ziel ist in dieser umfassenden Form nicht erreichbar, trotzdem wird nach effektiven und zuverlässigen Methoden gesucht, mit deren Hilfe bestimmte Räume analysiert oder sogar bestimmte Klassen topologischer Räume klassifiziert werden können.
Typischerweise werden Simplizialkomplexe, Zellkomplexe, Mannigfaltigkeiten mit und ohne Rand untersucht, also Räume, die aus topologisch einfachen Komponenten zusammengesetzt sind. Die betrachteten Abbildungen zwischen ihnen können stetige, stückweise lineare oder differenzierbare Abbildungen sein. Ziel ist es, die betrachteten Räume und die Abbildungen zwischen ihnen mittels zugeordneter algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe, Vektorräume und der Homomorphismen (Strukturen) zwischen ihnen und daraus abgeleiteten Größen so weit wie möglich zu klassifizieren, bis auf Homöomorphie oder zumindest bis auf die gröbere Homotopieäquivalenz. Dazu werden keine mengentopologischen Eigenschaften wie Trennungsaxiome oder Metrisierbarkeit herangezogen, sondern eher globale Eigenschaften wie „Windungen“ oder „Löcher“ in Räumen, Begriffe, die im Rahmen der algebraischen Topologie zuerst zu präzisieren sind. (Wikipedia)
- Kapitel 0: Grundlagen
- Kapitel 1: Die Fundamentalgruppe
- Kapitel 2: Homologie
- Kapitel 3: Kohomologie
- Kapitel 4: Homotopietheorie
Literatur: Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN: 0-521-79160-X; 0-521-79540-0
Zeiten: Mo 4. DS (WIL A 124) und Mi 3. DS (WIL C 133). Die erste Veranstaltung ist am Dienstag, dem 13. Oktober 2015.
Alle sind herzlich eingeladen!