Forschungsschwerpunkte
Nichtlineare und nichtglatte Optimierung
Unsere Arbeitsgruppe forscht auf dem Gebiet der nichtlinearen, kontinuierlichen Optimierung. Wir befassen uns mit der Charakterisierung von Extremstellen mittels notwendiger und hinreichender Optimalitätsbedingungen sowie der Konstruktion von Lösungsalgorithmen. Ein besonderer Fokus liegt dabei auf Optimierungsproblemen, die durch nichtglatte Funktionen modelliert werden, denn diese besitzen hohe Anwendungsrelevanz im Bereich der Datenwissenschaften. Ebenso interessieren wir uns für Optimierungsaufgaben mit einer disjunktiven Struktur des zulässigen Bereichs und regularitätsschwache Optimierungsaufgaben.
Zwei-Ebenen-Optimierung
Optimierungsaufgaben, deren Nebenbedingungen die (parameterabhängige) Lösungsmenge einer zweiten Optimierungsaufgabe umfassen, nennt man Zwei-Ebenen-Optimierungsaufgaben. Diese sind inhärent nichtkonvex, nichtglatt und irregulär, spielen aber in vielfältigen Anwendungen aus den Daten-, Ingenieur-, Natur- und Wirtschaftswissenschaften eine bedeutende Rolle, da sie kooperatives oder kompetitives Verhalten von zwei Entscheidungsparteien modellieren. Zwei-Ebenen-Optimierungs hängt eng mit der mathematischen Spieltheorie zusammen.
Optimalsteuerung und Optimierung in abstrakten Räumen
Optimierungsaufgaben, deren Nebenbedingungen gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen umfassen, nennt man Optimalsteuerungsprobleme. Unsere Arbeitsgruppe interessiert sich für Optimalsteuerungsprobleme mit disjunktiven Nebenbedingungen (wie Umschaltbedingungen an die Steuerung) und Optimalsteuerungsprobleme zur Bestimmung von Steuerungen mit möglichst kleinem Träger. Offenbar handelt es sich bei Optimalsteuerungsproblemen um Optimierungsaufgaben mit Entscheidungsvariablen in Funktionenräumen. Unsere Arbeitsgruppe befasst sich allgemein mit Optimierungsaufgaben in abstrakten Räumen über Funktionen (z. B. Bildverarbeitungsprobleme) oder Matrizen (z. B. Matrixvervollständigung mit Maximalrangbedingungen).
Nichtglatte Variationsrechnung
Zur Differentiation nichtglatter Abbildungen werden verallgemeinerte Konzepte von Ableitungen benötigt. Unsere Arbeitsgruppe befasst sich mit der Untersuchung existierender und der Konstruktion neuer Konzepte, insbesondere im Hinblick auf verwendbare Rechenregeln und Anwendbarkeit in der (algorithmischen) Optimierung. Unser besonderes Interesse gilt hierbei verallgemeinerten Ableitungen höherer Ordnung