Forschung an der Professur für Mathematische Statistik

Bei einer Vielzahl von nicht deterministischen Abläufen unserer Erfahrungswelt kommt es sehr häufig vor, dass der Zufallsmechanismus des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses einen Strukturbruch an einer unbekannten "Sprungstelle" aufweist.

Beschreibt der Prozess z.B. die zeitliche Entwicklung eines zufälligen Systems, so gibt im einfachsten Fall die Sprungstelle den Zeitpunkt an, nachdem sich die Verteilung der zufälligen Beobachtungen abrupt oder auch allmählich ändert. Mitunter kann die Verteilung der Beobachtungen auch nach mehreren Zeitpunkten wechseln. Dann hat man es mit einer (endlich) mehrdimensionalen Sprungstelle zu tun.

Beschreibt der Prozess ein zufälliges System nicht in Zeitpunkten sondern in Ortspunkten (Lokationen), so ist die Sprungstelle ein Gebiet. Beobachtungen innerhalb dieses Gebiets folgen einer anderen Verteilung als solche außerhalb des Gebiets. Solche Gebiete sind, solange keine oder nur geringe Informationen über ihre Gestalt vorliegen, unendlich-dimensionale Sprungstellen. Neben diesen Sprungstellen im Zeit- oder Ortsbereich kann es auch Sprungstellen im Parameterbereich der Verteilung geben. Hier beobachtet man in einer einfachen Situation z.B. unabhängige und identisch verteilte reelle Zufallsgrößen, deren gemeinsame Dichte eine Unstetigkeit in Form einer Sprungstelle hat.

In jedem Fall besteht das Problem in der Schätzung der "Sprungstelle" anhand von Beobachtungen des stochastischen Prozesses. Je nach Fragestellung liefert der Schätzwert beispielsweise die Zeitspanne einer Fehlproduktion oder die Dauer einer Epidemie, die Rekonstruktion eines verrauschten Bildes oder die Einteilung von Patienten in eine Risiko- und Nichtrisikogruppe. Die Aufgabe besteht nun darin, in den jeweiligen Modellen Schätzverfahren zu konstruieren. Diese werden unter Verwendung mathematischer Kriterien auf ihre Effizienz hin untersucht und optimiert. In der Regel geschieht dies durch die Herleitung von Grenzwertsätzen. Eine Implementierung der Algorithmen als Computerprogramme ermöglicht u.a. umfangreiche Simulationsstudien.

Die Forschungsergebnisse der Professur werden in zahlreichen Publikationen dokumentiert.