Abschlussarbeiten

Studentische Projekte und Abschlussarbeiten

Ich betreue Bachelor- und Masterarbeiten sowie kleinere Forschungs- und Programmierprojekte in der Numerischen Mathematik und im Wissenschaftlichen Rechnen. Viele Projekte sind mit aktuellen Forschungsfragen aus den Bereichen Finite-Elemente-Methoden, geometrische PDEs, numerische Algorithmen und wissenschaftliche Software verbunden.

Die unten aufgeführten Themen sind als Ausgangspunkte und nicht als vollständig festgelegte Aufgabenstellungen zu verstehen. Der genaue Umfang kann in der Regel an die Art des Projekts, die mathematischen und programmiertechnischen Vorkenntnisse sowie die Interessen der Studierenden angepasst werden. Einige Projekte haben ihren Schwerpunkt auf der mathematischen Analysis, andere auf numerischen Experimenten und Implementierung, wieder andere auf Modellierung oder Anwendungen.

Wenn Sie sich für eines der Themen interessieren, kontaktieren Sie mich gerne. Wir können dann den aktuellen Stand des Themas und einen geeigneten Umfang besprechen.

Bachelorprojekte

B1: Krümmung diskreter und höhergradiger Kurven

Schwerpunkt: Numerische Experimente / Analysis
Hilfreiche Vorkenntnisse: PR20, Numerische Mathematik

Wie lässt sich die Krümmung einer glatten Kurve bestimmen, wenn nur eine stückweise lineare oder polynomiale Approximation der Kurve vorliegt? In diesem Projekt werden verschiedene lokale Krümmungsapproximationen implementiert und an Kurven mit bekannter Krümmung verglichen. Numerische Experimente untersuchen die Genauigkeit und Konvergenz bei Verfeinerung der Kurvenapproximation.

Das Projekt kann wahlweise stärker auf numerische Experimente oder auf eine detailliertere Untersuchung des Approximationsfehlers ausgerichtet werden. Grundlegende Konzepte aus der Differentialgeometrie können im Rahmen des Projekts erarbeitet werden.

B2: Charakterisierung ebener Formen mit Minkowski-Tensoren

Schwerpunkt: Numerische Experimente / Geometrie
Hilfreiche Vorkenntnisse: PR20, Lineare Algebra

Wie lässt sich beispielsweise ein regelmäßiges Dreieck numerisch von einem gestreckten oder gestörten Dreieck unterscheiden? Minkowski-Tensoren kodieren Informationen über die Form und Anisotropie eines Objekts in tensorwertigen geometrischen Größen. In diesem Projekt werden solche Tensoren sowie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren für ebene Formen berechnet und zur Charakterisierung ihrer Symmetrien und ausgezeichneten Richtungen verwendet.

Numerische Experimente untersuchen die Invarianz unter Translationen und Rotationen sowie die Robustheit gegenüber Verfeinerungen und Störungen der Formdarstellung.

B3: Rekonstruktion von Normalenvektoren auf triangulierten Flächen

Schwerpunkt: Numerische Experimente / Analysis
Hilfreiche Vorkenntnisse: PR20, Numerische Mathematik

Auf einer stückweise ebenen Approximation einer gekrümmten Fläche sind die Normalenvektoren auf jedem Dreieck konstant und über Kanten hinweg unstetig. Dieses Projekt untersucht Verfahren zur Rekonstruktion eines stetigen und genaueren Normalenvektorfeldes, beispielsweise durch Mittelung der Normalen benachbarter Elemente in den Gitterknoten.

Verschiedene Gewichtungsstrategien werden numerisch verglichen und ihre Konvergenz bei Gitterverfeinerung untersucht. Das Projekt kann um weiterführende Rekonstruktionsverfahren wie polynomiale Patch-Approximationen oder Finite-Elemente-Projektionen erweitert werden.

B4: Symmetrien in verfeinerten Triangulierungen

Schwerpunkt: Analysis / Numerische Experimente
Hilfreiche Vorkenntnisse: PR20, Numerische Mathematik

Bei der strukturierten Verfeinerung eines Dreiecksgitters entstehen Paare von Dreiecken, die Spiegelbilder voneinander sind. Solche lokalen Symmetrien können dazu führen, dass sich führende Interpolationsfehler gegenseitig aufheben und dadurch unerwartet hohe Konvergenzraten entstehen.

Das Projekt untersucht, wie solche symmetrischen Dreieckspaare entstehen, und versucht, ihr Auftreten für ausgewählte Verfeinerungsverfahren zu charakterisieren oder mathematisch zu beweisen. In einer stärker numerisch ausgerichteten Variante können unterschiedliche Verfeinerungsstrategien verglichen und die resultierenden Interpolationsfehler gemessen werden.

Ein verwandtes Projekt kann gezielt Gitterfolgen untersuchen, in denen solche Symmetrien nicht auftreten. Beide Fragestellungen eignen sich auch für zwei aufeinander abgestimmte Projekte.

B5: Gittererzeugung mit Gmsh und DUNE

Schwerpunkt: Wissenschaftliche Software / Numerische Berechnungen
Hilfreiche Vorkenntnisse: PR20, Programmiererfahrung in C++
Programmiersprache: C++

Gmsh ist eine weit verbreitete Bibliothek zur Erzeugung von Rechengittern, während DUNE C++-Abstraktionen für Rechengitter und Finite-Elemente-Methoden bereitstellt. Dieses Projekt untersucht, wie von Gmsh erzeugte Informationen möglichst direkt in DUNE übernommen werden können.

Mögliche Fragestellungen sind das Einlesen von Periodizitätsinformationen aus Gmsh-Gitterdateien und die Rekonstruktion der entsprechenden topologischen Verbindungen in DUNE oder die direkte Verwendung der Gmsh-C++-Schnittstelle zur Konstruktion von DUNE-Gittern ohne eine zwischengeschaltete Gitterdatei. Die genaue Ausrichtung kann an den Umfang des Projekts und die Programmiererfahrung angepasst werden.

Masterprojekte

M1: Stabilisierte Finite-Elemente-Approximation der Krümmung

Schwerpunkt: Numerische Experimente / Numerische Analysis
Hilfreiche Vorkenntnisse: Finite-Elemente-Methoden, Numerik partieller Differentialgleichungen

Krümmungsgrößen, die direkt aus diskreten Flächen berechnet werden, konvergieren häufig weniger genau als gewünscht. Stabilisierte Finite-Elemente-Rekonstruktionen bieten einen Ansatz, um diese Approximationen zu verbessern.

In diesem Projekt werden stabilisierte Verfahren für den mittleren Krümmungsvektor und den Formoperator implementiert und systematisch mit ihren nicht stabilisierten Varianten verglichen. Numerische Experimente untersuchen Genauigkeit und Konvergenz sowie Eigenschaften und Kondition der entstehenden linearen Gleichungssysteme.

M2: Analysis stabilisierter Finite-Elemente-Approximationen der Krümmung

Schwerpunkt: Mathematische Analysis
Hilfreiche Vorkenntnisse: Finite-Elemente-Methoden, Numerik partieller Differentialgleichungen, Funktionalanalysis

Dieses Projekt untersucht die mathematischen Grundlagen stabilisierter Finite-Elemente-Verfahren zur Approximation von Krümmungsgrößen. Ausgehend von existierenden Resultaten für den mittleren Krümmungsvektor sollen Diskretisierungsfehlerabschätzungen auf stückweise ebenen Approximationen von Kurven und Flächen hergeleitet und die Übertragung der Analysis auf die Approximation des Shapeoperators untersucht werden.

Das Thema ist eng mit dem oben beschriebenen numerisch ausgerichteten Krümmungsprojekt verbunden. Beide Themen könnten auch als aufeinander abgestimmte Projekte mit theoretischem und numerischem Schwerpunkt bearbeitet werden.

M3: Oberflächen-Stokes-Gleichungen in Stromfunktionsformulierung

Schwerpunkt: Analysis / Finite-Elemente-Methoden
Hilfreiche Vorkenntnisse: Finite-Elemente-Methoden, partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis

Die Oberflächen-Stokes-Gleichungen beschreiben viskose Strömungen, die auf eine gekrümmte Fläche beschränkt sind. In einer Stromfunktionsformulierung wird das tangentiale Geschwindigkeitsfeld durch Ableitungen eines skalaren Feldes dargestellt. Dadurch entsteht eine Diskretisierung, die sich wesentlich von der üblichen Geschwindigkeits-Druck-Formulierung unterscheidet.

Das Projekt untersucht den Diskretisierungsfehler einer Oberflächen-Finite-Elemente-Approximation dieser Formulierung einschließlich der Rekonstruktion von Geschwindigkeit und Druck. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf Fehlern, die durch die Approximation der Oberflächengeometrie und der im Verfahren auftretenden Krümmungsgrößen entstehen.

M4: Diskretisierung einer tangentialen Vektor-Poisson-Gleichung

Schwerpunkt: Numerische Experimente / Numerische Analysis
Hilfreiche Vorkenntnisse: Finite-Elemente-Methoden, Numerik partieller Differentialgleichungen

Ein auf einer Fläche definiertes Vektorfeld kann der Nebenbedingung unterliegen, an jedem Punkt tangential zur Fläche zu sein. Es gibt grundlegend verschiedene Möglichkeiten, diese Bedingung numerisch abzubilden: durch eine intrinsische Darstellung, über Straftermverfahren oder mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren.

In diesem Projekt werden diese Ansätze für ein Vektor-Poisson-Problem auf einer gekrümmten Fläche implementiert und miteinander verglichen. Numerische Experimente untersuchen Approximationsfehler, die Einhaltung der Tangentialitätsbedingung und den Einfluss von Parametern wie der Stärke des Strafterms oder der Wahl des Lagrange-Multiplikator-Raums.

M5: Höhere Ableitungen von DUNE-Geometrien

Schwerpunkt: Wissenschaftliche Software / Numerische Geometrie
Hilfreiche Vorkenntnisse: Scientific Programming, Finite-Elemente-Methoden oder Differentialgeometrie
Programmiersprache: C++

Gekrümmte Rechengitter werden durch elementweise Geometrieabbildungen beschrieben. Aus deren ersten Ableitungen lassen sich beispielsweise Tangentialvektoren und Normalen bestimmen, während zweite und höhere Ableitungen für Größen wie die Krümmung und für weiterführende Finite-Elemente-Transformationen benötigt werden.

Das Projekt entwickelt eine Erweiterung der DUNE-Geometrieschnittstelle für höhere Ableitungen, implementiert diese für ausgewählte Geometrietypen und erprobt den Entwurf anhand der Berechnung geometrischer Größen wie der ersten und zweiten Fundamentalform. Das Projekt verbindet numerische Geometrie mit dem Entwurf wiederverwendbarer Schnittstellen für wissenschaftliche Software.

Weitere Projektideen

Weitere Projekte können aus aktuellen Forschungsfragen entwickelt werden. Beispiele sind:

Minkowski-Spektren zur Formerkennung — Untersuchung, ob tensorwertige geometrische Deskriptoren als Merkmale zur Klassifikation von Formen verwendet werden können, und Vergleich mit bildbasierten Verfahren.
Rationale Interpolation auf Dreiecksgebieten — Untersuchung von Erweiterungen der Floater-Hormann-artigen rationalen Interpolation von Intervallen auf Dreiecke sowie ihrer Approximations- und Stabilitätseigenschaften.
Gitterfolgen mit und ohne lokale Symmetrien — Konstruktion und numerischer Vergleich von Gitterfamilien, in denen symmetriebedingte Auslöschungseffekte auftreten beziehungsweise gezielt vermieden werden.

Weitere Themen aus den Bereichen Finite-Elemente-Methoden, geometrische PDEs, numerische Algorithmen und wissenschaftliche Software sind ebenfalls möglich. Wenn Sie Interesse an einem Projekt in einem dieser Bereiche haben, sprechen Sie mich gerne an.