Master- und Bachelorarbei­ten

Diese Seite präsentiert eine Auswahl möglicher Themen für Bachelor- und Masterarbeiten. Die meisten davon berühren aktuelle Forschungsthemen. Wer keins von den vorgeschlagenen Themen mag (oder vielleicht schon ein eigenes hat) und dennoch bei mir eine Abschlussarbeit schreiben will sollte einfach auch mich zukommen. Kontakt

Die Liste ist grob nach Bachelor- und Masterarbeiten geteilt, aber die Aufteilung ist nicht zwingend.

Bei vielen Themen muss in der einen oder anderen Form programmiert werden. Dazu wird meistens Python oder C++ verwendet. Häufig kommt auch DUNE vor.

Ich empfehle die Lektüre des Handbook of Writing for the Mathematical Sciences. Die Fakultät Mathematik stellt LaTeX-Vorlagen für Abschlussarbeiten zur Verfügung.

Bachelorarbeiten

Integration über sphärische Dreiecke

In der Numerik-Vorlesung lernt man meistens nur die numerische Approximation von Integralen auf einem Intervall, aber natürlich kommen auch andere Integrationsgebiete vor. Wie könnte man z.B. Quadraturregeln für Funktionen konstruieren, die auf sphärischen Dreiecken definiert sind?

Berechnung der Matrixexponentialfunktion

Der Artikel Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later enthält haufenweise spannende Mathematik. Wer hätte gedacht dass es so schwierig ist, die Matrixexponentialfunktion auszurechnen? Hier darf man sich ein paar der 19 dubiosen Methoden auswählen, und diese etwas genauer untersuchen und vergleichen.

Diffeologische Räume

Diffeologische Räume sind eine Verallgemeinerung der aus der Differentialgeometrie bekannten Mannigfaltigkeiten. Damit kann man diverse mathematische Objekte elegant beschreiben, die für normale Differentialgeometrie "nicht glatt genug" sind. Ziel der Arbeit ist es, den Begriff des diffeologischen Raumes zu verstehen, und ihn auf verschiedene Funktionenräume anzuwenden.

Literatur: Iglesias-Zemmour: "Diffeology", American Mathematical Society

Das Thema kann problemlos zu einer Masterarbeit erweitert werden.

Und es gibt noch mehr...

  • Automatisches Differenzieren (Literatur: Griewank, Walther, "Evaluating Derivatives")
  • Baryzentrische rationale Interpolation (Literatur z.B.: Floater, Hormann, "Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation", Numerische Mathematik, 2007)
  • Subdivisions-Flächen
  • Biharmonische Gleichung / C^1-Elemente
  • Lie-Gruppen-Integratoren
  • Hierarchische Matrizen
  • Matrixfunktionen
  • Konvexe Analysis für Spektralfunktionen
  • Direktes Assemblieren der inversen Massenmatrix
  • Optimierung auf Matrix-Mannigfaltigkeiten
  • ...

Masterarbeiten

Funktionale A posteriori Fehlerschätzer

(Gemeinsames Thema mit Prof. Dirk Pauly)

In the paper Solution Theory, Variational Formulations, and Functional a Posteriori Error Estimates for General First-Order Systems with Applications to Electro-Magneto-Statics and More, Dirk Pauly proves the well-posedness of certain first-order PDEs using Hilbert complex techniques. (In his own words, the paper is "zu lang, aber einfach -- nicht abschrecken lassen!") He also constructs an a posteriori error estimator, i.e., an algorithm to compute upper and lower bounds for the error of numerical PDE solutions. However, while this algorithm has been proven to be correct, it has never actually been tried out in practice. Therefore, the goal of this master thesis is to understand the error estimator, implement it using Dune, and investigate how well it does in practice.

Randelementmethoden (BEM)

Classical solution theory of PDEs allows to replace certain elliptic PDEs by integral equations on the domain boundary. This can be helpful, e.g., if the domain is partly unbounded, or has a very complicated boundary. The Boundary Element Method (BEM) tries to solve the integral equation numerically. The approach has several important advantages: A boundary grid is typically much smaller than a grid for the full domain, and it is usually much easier to construct. The price to pay is that the stiffness matrix is dense all of a sudden, and assembly and solving can become costly if not done right. The goal of this thesis is to understand the method, and to implement a prototype using Dune.

Literatur: Sauter, Schwab: Boundary Element Methods

Die Butcher-Gruppe

(Gemeinsames Thema mit Prof. Uli Krähmer).

The classical proof for the convergence order of the Runge-Kutta time-stepping method for ODEs involves computing Taylor expansions of the ODE and of the Runge-Kutta scheme (see [1] for a description). To cope with the resulting mess of different mixed nested derivatives, Cayley and Butcher had the idea to label the derivatives by rooted trees. Surprisingly, there is a Lie group structure behind these trees. Even more surprisingly, the same group was found independently later when studying Hopf algebras and quantum field theory [2]. The aim of this project is to understand both ways to arrive at the Butcher group, and to describe them in a single coherent document.

Kitaev-Modelle

(Gemeinsame Betreuung mit Prof. Uli Krähmer)

Kitaev models are theoretical models for a quantum computer. They are believed to be particularly robust against the influence of the environment (such as cosmic rays) because of a feature called "topological protection". In its simple-most form, a Kitaev model consists of a graph inscribed into a high-genus compact surface. Associated to each edge of the graph is a vector with d complex entries (a "qubit"). These vectors interact and this interaction is modelled by the action of certain linear operators, essentially discrete stationary variations of Schrödinger's equation. For a robust quantum computer one needs information about the spectrum of the linear operators, i.e., their set of eigenvalues. The goal of this project is to understand the model, numerically compute the spectra, and to determine spaces that are invariant under all the linear operators.

Finite Elemente mit Bernstein-Polynomen

Finite Elemente sind eine Technik um partielle Differentialgleichungen zu lösen. Die unbekannte Funktion wird dabei durch stückweise Polynome approximiert. Die wichtigen Lagrange-Finite-Elemente nutzen dabei stückweise Lagrange-Polynome als Basis. Man kann stattdessen allerdings auch Bernstein-Polynome nehmen. Diese haben den Vorteil dass sie auf jedem Element nicht-negativ sind. Das hat Vorteile wenn Nebenbedingungen zu beachten sind, wenn also z.B. die Lösung punktweise eine obere Schranke nicht überschreiten darf.

In diesem Projekt soll dieser Ansatz einmal ausprobiert werden. Kandidat(inn)en mit Hang zur Analysis können versuchen, den Diskretisierungsfehler abzuschätzen. Mehr praktisch orientierte Kandidat(innen) können versuchen, ein Mehrgitterverfahren für das Hindernisproblem zu bauen.

GENERIC

Der GENERIC-Formalismus ist eine Erweiterung der klassischen Hamilton-Mechanik (die energieerhaltende Prozesse beschreibt) auf Prozesse die auch dissipative Anteile haben. Als dissipativ bezeichnet man dabei Prozesse die Energie abgeben, wie z.B. Reibung oder plastische Verformung. Eine zentrale Frage lautet wie strukturerhaltende Zeitintegrationsverfahren für solche Systeme aussehen können.

Literatur: H.C. Öttinger, Beyond Equilibrium Thermodynamics. Wiley, 2004

Voraussetzungen: Interesse an Zeitdiskretisierungen, Mechanik, und vielleicht ein wenig Differentialgeometrie

Mehrgitter für primale Plastizität oder Rissbildung in Python

In dem Artikel [1] wird ein Mehrgitterverfahren beschrieben, mit dem die plastische Verformung von einfachen Materialien schnell simuliert werden kann. Von diesem Algorithmus existiert eine gute C++-Implementierung, aber sowohl die mathematische Beschreibung als auch die C++-Implementierung sind etwas sperrig. Ziel dieser Arbeit ist es, den Mehrgitter-Algorithmus zu verstehen, eine einfache Python-Implementierung anzufertigen, und diese gut zu beschreiben. Wer kein Interesse an plastischer Verformung hat kann das gleiche Projekt für das Rissbildungsproblem in [2] versuchen.

Literatur:

Voraussetzungen: Interesse am Programmieren in Python

Rissausbreitung in einem plastischen Material (Duktilbruch)

In [1] wird beschrieben wie quasistatische Rissausbreitung in einem spröden Material (z.B. Glas) modelliert und simuliert werden kann. Viele Materialien verhalten sich aber elastoplastisch: Bei nicht zu kleinen Belastungen verformen sie sich zunächst dauerhaft, und nur wenn die Belastungen noch größer werden kommt es zu Rissen.

 In der Ingenieursliteratur sind schon diverse Modelle für solche Rissbildung vorgeschlagen worden (siehe z.B. [3]). Diese verbinden im Prinzip das Rissbildungsmodell aus [1] mit dem elastoplastischen Materialmodell aus [2]. Mathematisch sorgfältige Untersuchungen stehen allerdings noch aus.  Dafür wird man ähnliche Techniken wie in [1] und [2] benötigen, z.B. Variationsungleichungen, konvexe Analysis und etwas nichtglatte Analysis.

Aus diesem Thema können im Prinzip zwei Masterarbeiten werden: Eine mit Schwerpunkt auf der mathematischen Analyse: Dort würde man die Konvexitäts-, Glattheits- und Existenzaussagen aus [1] für das allgemeinere Modell beweisen. Andererseits kann man auch eine Masterarbeit über die in [1,2] beschriebenen Algorithmen anfertigen. Diese sollten sich nämlich ziemlich direkt auf den Fall von Rissbildung in elastoplastischen Materialien verallgemeinern. Eine C++/Dune-Implementierung für Rissbildung in elastischen Materialien gibt es schon.

Literatur:

Nichtassoziative Plastizität

Als Nichtassoziative Plastizität bezeichnet man Modelle für elastoplastische Materialien, die sich aus bestimmten Gründen nicht in den hübschen konvex-analystischen Rahmen in [1] passen. In der recht neuen Arbeit [2] wird jetzt behauptet dass das doch geht. Ziel dieser Arbeit ist es, [2] zu verstehen und zu untersuchen, welche Konsequenzen die neu entdeckten Strukturen für die Konstruktion von Lösungsalgorithmen haben.

Literatur:

Dynamische Rissausbreitung

In [1] wird beschrieben wie quasistatische Rissausbreitung in einem spröden Material (z.B. Glas) modelliert und simuliert werden kann. Die Modelle dort vernachlässigen aber, dass es in solchen Materialien zu Wellenbewegungen kommen kann, die eventuell zu weiteren Rissen führen. Um auch solche Effekte zu berücksichtigen muss die kinetische Energie in das Modell eingebaut werden. Dadurch ändert sich der Charakter der Gleichung; und neue Zeitschrittverfahren sind nötig.  (Insbesondere sollte sich die neue Gleichung durch den oben beschriebenen GENERIC-Formalismus beschreiben lassen.) Ziel dieser Arbeit ist es, solch ein erweitertes Modell zu verstehen, eine Zeitdiskretisierung darauf anzuwenden, und in C++/Dune umzusetzen (eine Implementierung für quasistatische Rissbildung gibt es schon).

Literatur: [1] C. Gräser, D. Kienle, and O. Sander: Truncated Nonsmooth Newton Multigrid for phase-field brittle-fracture problems, arXiv: 2007.12290, 2020

Isogeometrische Analysis

Hinter dem Schlagwort "Isogeometrische Analysis" verbirgt sich die Finite-Elemente-Methode. Allerdings werden hier statt der normalen Lagrange-Polynome Spline-Funktionen zum Interpolieren verwendet. Der Vorteil ist, dass man sich in vielen Fällen die aufwändige Gittererzeugung sparen kann. In vielen technischen Anwendungen werden die Gebiete nämlich auch durch Splines beschrieben, und mit isogeometrischer Analysis kann man direkt darauf rechnen.

Ziel dieses Projekts ist es, die Isogeometrische Analysis zu verstehen, und die Spline-Basisfunktionen in DUNE einzubauen.

Und es gibt noch mehr...

  • Diskretisierung und Implementierung eines Modell für Cosserat-Plastizität
  • de Casteljau-FE
  • Die Thompson-Metrik
  • Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung für Mikromagnetismus
  • Partikelmethoden zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen (z.B. die Maximum-Entropy-Methode)
  • Whitney-Formen höherer Ordnung
  • Optimierung auf Mannigfaltigkeiten
  • ...

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Claudia Hess
Letzte Änderung: 11.07.2025