Master- und Bachelorarbei­ten

Diese Seite präsentiert eine Auswahl möglicher Themen für Bachelor- und Masterarbeiten. Die meisten davon berühren aktuelle Forschungsthemen. Wer keins von den vorgeschlagenen Themen mag (oder vielleicht schon ein eigenes hat) und dennoch bei mir eine Abschlussarbeit schreiben will sollte einfach auch mich zukommen. Kontakt

Die Liste ist grob nach Bachelor- und Masterarbeiten geteilt, aber die Aufteilung ist nicht zwingend.

Bei vielen Themen muss in der einen oder anderen Form programmiert werden. Dazu wird meistens Python oder C++ verwendet. Häufig kommt auch DUNE vor.

Bitte beachten Sie auch die Vorlagen für Abschlussarbeiten der Fakultät Mathematik.

Bachelorarbeiten

Integration über sphärische Dreiecke

In der Numerik-Vorlesung lernt man meistens nur die numerische Approximation von Integralen auf einem Intervall, aber natürlich kommen auch andere Integrationsgebiete vor. Wie könnte man z.B. Quadraturregeln für Funktionen konstruieren, die auf sphärischen Dreiecken definiert sind?

Berechnung der Matrixexponentialfunktion

Der Artikel Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later enthält haufenweise spannende Mathematik. Wer hätte gedacht dass es so schwierig ist, die Matrixexponentialfunktion auszurechnen? Hier darf man sich ein paar der 19 dubiosen Methoden auswählen, und diese etwas genauer untersuchen und vergleichen.

Algebraische Mehrgittermethoden (AMG)

Algebraische Mehrgittermethoden lösen dünnbesetzte Gleichungssysteme, indem sie eine Hierarchie von immer kleineren Darstellungen des Gleichungssystems konstruieren. Wenig ist über die Theorie bekannt, aber in der Praxis funktionieren die Verfahren sehr gut.

Ziel der Arbeit ist es, den algebraischen Mehrgitteralgorithmus zu verstehen, und eine einfache Implementierung anzufertigen.

Literatur: Trottenberg, Oosterlee, Schuller, "Multigrid", Academic Press, Appendix A

Erweiterungen für eine Masterarbeit:

  • AMG für die Gleichungen der linearen Elastizität
  • AMG für Gleichungen mit Ungleichungsnebenbedingungen

Diffeologische Räume

Diffeologische Räume sind eine Verallgemeinerung der aus der Differentialgeometrie bekannten Mannigfaltigkeiten. Damit kann man diverse mathematische Objekte elegant beschreiben, die für normale Differentialgeometrie "nicht glatt genug" sind. Ziel der Arbeit ist es, den Begriff des diffeologischen Raumes zu verstehen, und ihn auf verschiedene Funktionenräume anzuwenden.

Literatur: Iglesias-Zemmour: "Diffeology", American Mathematical Society

Das Thema kann problemlos zu einer Masterarbeit erweitert werden.

Und es gibt noch mehr...

  • Automatisches Differenzieren (Literatur: Griewank, Walther, "Evaluating Derivatives")
  • Baryzentrische rationale Interpolation (Literatur z.B.: Floater, Hormann, "Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation", Numerische Mathematik, 2007)
  • Subdivisions-Flächen
  • Biharmonische Gleichung / C^1-Elemente
  • Lie-Gruppen-Integratoren
  • Hierarchische Matrizen
  • Matrixfunktionen
  • Konvexe Analysis für Spektralfunktionen
  • Direktes Assemblieren der inversen Massenmatrix
  • Optimierung auf Matrix-Mannigfaltigkeiten
  • ...

Masterarbeiten

Finite Elemente mit Bernstein-Polynomen

Finite Elemente sind eine Technik um partielle Differentialgleichungen zu lösen. Die unbekannte Funktion wird dabei durch stückweise Polynome approximiert. Die wichtigen Lagrange-Finite-Elemente nutzen dabei stückweise Lagrange-Polynome als Basis. Man kann stattdessen allerdings auch Bernstein-Polynome nehmen. Diese haben den Vorteil dass sie auf jedem Element nicht-negativ sind. Das hat Vorteile wenn Nebenbedingungen zu beachten sind, wenn also z.B. die Lösung punktweise eine obere Schranke nicht überschreiten darf.

In diesem Projekt soll dieser Ansatz einmal ausprobiert werden. Kandidat(inn)en mit Hang zur Analysis können versuchen, den Diskretisierungsfehler abzuschätzen. Mehr praktisch orientierte Kandidat(innen) können versuchen, ein Mehrgitterverfahren für das Hindernisproblem zu bauen.

Das Schalenmodell von Simo und Fox

Mit "Schale" bezeichnet man in der Mechanik das Modell eines sehr dünnen, quasi zweidimensionalem Objekts, z.B. eines Metallblechs. In [1] stellten Juan Simo und D. Fox das Modell einer Schale mit einem Direktor vor. Das ist ein Vektor, der an jedem Punkt die Querschnittsrichtung angibt. Mathematisch handelt es sich bei dem Schalenmodell um eine partielle Differentialgleichung für Funktionen mit Werten in R^3 x S^2.

Die numerische Behandlung solcher Gleichungen ist schwierig, da die Ansatzfunktionen keinen linearen Raum bilden. Man kann deshalb keine normalen Finiten Elemente nehmen. Ziel dieses Projekts ist es, Geodätische Finite Elemente für das Modell von Simo und Fox verwenden.
LIteratur: [1] J. Simo und D. Fox: On a stress resultant geometrically exact shell model. Part I: Formulation and optimal parametrization. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 72:267-304, 1989
Voraussetzungen: Spaß an Numerik und Differentialgeometrie

GENERIC

Der GENERIC-Formalismus ist eine Erweiterung der klassischen Hamilton-Mechanik (die energieerhaltende Prozesse beschreibt) auf Prozesse die auch dissipative Anteile haben. Als dissipativ bezeichnet man dabei Prozesse die Energie abgeben, wie z.B. Reibung oder plastische Verformung. Eine zentrale Frage lautet wie strukturerhaltende Zeitintegrationsverfahren für solche Systeme aussehen können.

Literatur: H.C. Öttinger, Beyond Equilibrium Thermodynamics. Wiley, 2004

Voraussetzungen: Interesse an Zeitdiskretisierungen, Mechanik, und vielleicht ein wenig Differentialgeometrie

Mehrgitter für primale Plastizität oder Rissbildung in Python

In dem Artikel [1] wird ein Mehrgitterverfahren beschrieben, mit dem die plastische Verformung von einfachen Materialien schnell simuliert werden kann. Von diesem Algorithmus existiert eine gute C++-Implementierung, aber sowohl die mathematische Beschreibung als auch die C++-Implementierung sind etwas sperrig. Ziel dieser Arbeit ist es, den Mehrgitter-Algorithmus zu verstehen, eine einfache Python-Implementierung anzufertigen, und diese gut zu beschreiben. Wer kein Interesse an plastischer Verformung hat kann das gleiche Projekt für das Rissbildungsproblem in [2] versuchen.

Literatur:

Voraussetzungen: Interesse am Programmieren in Python

Rissausbreitung in einem plastischen Material (Duktilbruch)

In [1] wird beschrieben wie quasistatische Rissausbreitung in einem spröden Material (z.B. Glas) modelliert und simuliert werden kann. Viele Materialien verhalten sich aber elastoplastisch: Bei nicht zu kleinen Belastungen verformen sie sich zunächst dauerhaft, und nur wenn die Belastungen noch größer werden kommt es zu Rissen.

 In der Ingenieursliteratur sind schon diverse Modelle für solche Rissbildung vorgeschlagen worden (siehe z.B. [3]). Diese verbinden im Prinzip das Rissbildungsmodell aus [1] mit dem elastoplastischen Materialmodell aus [2]. Mathematisch sorgfältige Untersuchungen stehen allerdings noch aus.  Dafür wird man ähnliche Techniken wie in [1] und [2] benötigen, z.B. Variationsungleichungen, konvexe Analysis und etwas nichtglatte Analysis.

Aus diesem Thema können im Prinzip zwei Masterarbeiten werden: Eine mit Schwerpunkt auf der mathematischen Analyse: Dort würde man die Konvexitäts-, Glattheits- und Existenzaussagen aus [1] für das allgemeinere Modell beweisen. Andererseits kann man auch eine Masterarbeit über die in [1,2] beschriebenen Algorithmen anfertigen. Diese sollten sich nämlich ziemlich direkt auf den Fall von Rissbildung in elastoplastischen Materialien verallgemeinern. Eine C++/Dune-Implementierung für Rissbildung in elastischen Materialien gibt es schon.

Literatur:

Das BFGS-Verfahren für Rissbildung

Das BFGS-Verfahren ist ein Quasi-Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen F(x)=0. Statt in jedem Schritt die Jacobi-Matrix von F auszurechnen (was eventuell teuer ist) wird sie beim BFGS-Verfahren geschätzt. Die Schätzung wird mit jeder Approximation besser. Kurioserweise wird aber gar nicht die Jacobi-Matrix geschätzt, sondern die inverse Jacobi-Matrix. Das erspart es einem, in jedem Newton-Schritt ein lineares Gleichungssystem lösen zu müssen: Eine Matrix-Vektor-Multiplikation genügt.

In der Literatur wird berichtet dass BFGS für Rissbildungsprobleme wie in [1] gut funktioniert. Das klingt plausibel, aber so richtig verstanden ist es bisher nicht. Auch konnte bisher niemand beweisen dass das Verfahren tatsächlich für jeden Startwert konvergiert.

In [1] ist ein nichtlineares Mehrgitterverfahren beschrieben, das einen normalen Newton-Schritt als Teilschritt des Verfahrens enthält. Für dieses Verfahren kann man globale Konvergenz beweisen, aber in der Praxis ist es nicht so stabil wie man es sich wünschen würde. Ziel der Arbeit ist es, dieses Mehrgitterverfahren mit BFGS zu kombinieren indem man die Newton-Schritte durch BFGS-Schritte ersetzt. Geht das so dass man immer noch Konvergenz beweisen kann? Und wird das praktische Konvergenzverhalten dadurch besser?

Literatur:

Nichtassoziative Plastizität

Als Nichtassoziative Plastizität bezeichnet man Modelle für elastoplastische Materialien, die sich aus bestimmten Gründen nicht in den hübschen konvex-analystischen Rahmen in [1] passen. In der recht neuen Arbeit [2] wird jetzt behauptet dass das doch geht. Ziel dieser Arbeit ist es, [2] zu verstehen und zu untersuchen, welche Konsequenzen die neu entdeckten Strukturen für die Konstruktion von Lösungsalgorithmen haben.

Literatur:

Dynamische Rissausbreitung

In [1] wird beschrieben wie quasistatische Rissausbreitung in einem spröden Material (z.B. Glas) modelliert und simuliert werden kann. Die Modelle dort vernachlässigen aber, dass es in solchen Materialien zu Wellenbewegungen kommen kann, die eventuell zu weiteren Rissen führen. Um auch solche Effekte zu berücksichtigen muss die kinetische Energie in das Modell eingebaut werden. Dadurch ändert sich der Charakter der Gleichung; und neue Zeitschrittverfahren sind nötig.  (Insbesondere sollte sich die neue Gleichung durch den oben beschriebenen GENERIC-Formalismus beschreiben lassen.) Ziel dieser Arbeit ist es, solch ein erweitertes Modell zu verstehen, eine Zeitdiskretisierung darauf anzuwenden, und in C++/Dune umzusetzen (eine Implementierung für quasistatische Rissbildung gibt es schon).

Literatur: [1] C. Gräser, D. Kienle, and O. Sander: Truncated Nonsmooth Newton Multigrid for phase-field brittle-fracture problems, arXiv: 2007.12290, 2020

Die 2-Lagrange-Multiplier-Methode

Die 2-Lagrange-Multiplier-Methode (2LM-Methode) ist eine Gebietszerlegungsmethode zum Lösen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Gebiet wird dabei in nichtüberlappende Teilgebiete unterteilt. Danach werden nur noch Probleme für Funktionen auf den Rändern der einzelnen Teilgebiete betrachtet. Die 2LM-Methode ist elegant und recht einfach zu parallelisieren.

Eine Bachelorarbeit zu diesem Thema würde diese Methode und den Beweis Ihrer Konvergenz beschreiben. Für eine Masterarbeit kann zusätzlich z.B. folgendes untersucht werden:

  • In der Arbeitsgruppe existiert bereits eine sequentielle Implementierung der 2LM-Methode. Implementieren Sie ein parallele Variante.
  • Die 2LM-Methode ist eine Eingittermethode. Wie andere solche Methoden auch wird sie langsam, wenn die Anzahl der Teilgebiete zu groß wird. Abhilfe schafft eine Grobgitterkorrektur (d.h. die Erweiterung zu einem Zweigitterverfahren). In der Literatur sind mehrere solche Grobgitterkorrekturen vorgeschlagen worden. Diese sollen untersucht und, ausgehend von einer existierenden Implementierung des Eingitterverfahrens, programmiert werden.
  • Es gibt die 2LM-Methode auch für nichtlineare Gleichungen, z.B. für die Richards-Gleichung. Beschreiben Sie das Verfahren und versuchen Sie, die durch das Verfahren erzeugte mathematische Struktur zu verstehen.

Voraussetzungen: Numerik von partiellen Differentialgleichungen, lineare Algebra
Programmieranteil: Je nach Variante zwischen 'sehr gering' und 'hoch'

Isogeometrische Analysis

Hinter dem Schlagwort "Isogeometrische Analysis" verbirgt sich die Finite-Elemente-Methode. Allerdings werden hier statt der normalen Lagrange-Polynome Spline-Funktionen zum Interpolieren verwendet. Der Vorteil ist, dass man sich in vielen Fällen die aufwändige Gittererzeugung sparen kann. In vielen technischen Anwendungen werden die Gebiete nämlich auch durch Splines beschrieben, und mit isogeometrischer Analysis kann man direkt darauf rechnen.

Ziel dieses Projekts ist es, die Isogeometrische Analysis zu verstehen, und die Spline-Basisfunktionen in DUNE einzubauen.

Und es gibt noch mehr...

  • Diskretisierung und Implementierung eines Modell für Cosserat-Plastizität
  • de Casteljau-FE
  • Die Thompson-Metrik
  • Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung für Mikromagnetismus
  • Schnelle Löser für Kristallplastizität
  • Partikelmethoden zum Lösen von partiellen Differentialgleichungen (z.B. die Maximum-Entropy-Methode)
  • Whitney-Formen höherer Ordnung
  • Optimierung auf Mannigfaltigkeiten
  • ...

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Claudia Hess
Letzte Änderung: 28.04.2023