Profil

Um es kurz zu machen:
Jede Art von Zufall interessiert mich. “Zufall”, “Glück” und “Unsicherheit” bestimmen unser tägliches Leben ganz erheblich und mich fasziniert, wie man den scheinbar regellosen Zufall mit ganz und gar nicht zufälligen Formeln fassen kann. Ein Beispiel von vielen ist die Fußball-Bundesliga.

Meine Forschung konzentriert sich auf die zeitliche und räumliche Ausbreitung von zufälligen Ereignissen. Mathematisch gesprochen handelt es sich um zufällige oder stochastische Prozesse (X_t)_{t}.
Üblicherweise unterteilen wir stochastische Prozesse gemäß

• der zu Grunde liegenden Zufallsverteilung   (Was ist die Verteilung der Zufallsvariable X_t(ω)? Ist sie normal? Fällt sie polynomial ab? Ist sie stabil?)
• der Form der Trajektorien t →X_t(ω)   (Sind diese stetig? Haben sie Sprünge?)
• der Dimension des Parameters t   (t > 0 ist die Zeit, t kann aber auch eine Koordinate auf der Erdkugel sein)
• der Entwicklung im Parameter t   (Hat der Prozeß ein Gedächnis?)

Ich bin vor allem an Markovschen Sprungprozessen interessiert; das sind stochastische Prozesse mit unstetigen Pfaden (die Sprünge stehen für plötzliche Änderungen oder Schocks) und ohne Gedächtnis; Physiker nennen derartige Prozesse Super-Diffusionen (weil sie sich schneller als Diffusionen ausbreiten) oder Lévy flights.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind typischerweise nicht normal (nicht Gaußisch) sondern “schwarze Schwäne” im Sinne von N.N. Taleb.  Im “echten Leben” findet man derartiges Verhalten bei Börsenkursen, dem Suchverhalten von Tieren oder der Ausbreitung von Dollar-Banknoten.  

Neben der Existenz und Konstruktion solcher Prozesse sind vor allem Fragen des Lang- und Kurzzeitverhaltens der Pfade wichtig: Kommt der Prozeß wieder zum Startpunkt zurück – und wenn ja, wie oft und wie häufig? Bilden sich Muster? – alles Fragen, die für die Vorhersage und qualitative Analyse wichtig sind.

Was ich gerade beschrieben habe, wird häufig “Stochastische Analysis” genannt.
Wie der Name schon andeutet, ist das ein Gebiet zwischen Analysis und Stochastik. Viele Techniken und Methoden kommen aus der (klassischen) Analysis, z.B. stochastische Differentialgleichungen, Operator-Halbgruppen, partielle Differentialgleichungen und Pseudo-Differentialoperatoren – und viele weitere Konzepte. Trotzdem haben diese Techniken einen ganz speziellen stochastischen “touch”:

Eine Operator-Halbgruppe T_t f(x) , die von einem Markov-Prozeß gegeben ist, ist von der Form E^x f(X_t) . Das erlaubt es uns, “den Prozeß auf seinem Pfad zu begleiten” und den Parameter t zufallsabhängig, d.h. ω-abhängig zu wählen. Diesen zusätzlichen Freiheitsgrad gibt es in der Analysis nicht, er erlaubt es uns, sehr allgemeine Funktionen f  zu betrachten oder die Lösungen zu Randwertproblemen zu finden.

Sollten Sie Fragen zur Wahrscheinlichkeitstheorie oder Interesse an der Stochastik haben, dann können Sie mich gerne anschreiben (oder in meine Lehrveranstaltungen kommen). Wie gesagt: Jede Art von Zufall interessiert mich.

2020 Mathematics Subject Classification (MSC 2020)

Schlüsselbegriffe

60G, 60H, 60J, 46E, 47D, 35S, 31C, 28A, 26A

Stochastischer Prozeß Markov-Prozeß Feller-Prozeß Lévy-Prozeß Sprungprozeß Pfadeigenschaften Stochastische Differentialgleichung Pseudodifferentialoperator Integro-Differentialoperator Negative definite Symbole Infinitesimaler Erzeuger Halbgruppe Laplacetransformation Fouriertransformation Stieltjestransformation Funktionenraum Besov-Raum Triebel-Lizorkin Raum Sobolev-Raum Bernstein-Funktion vollständig monotone Funktion Risiko, Unsicherheit