Proseminar Sommersemester 2018
Die reellen und komplexen Zahlen sind wohlbekannt, aber es gibt noch viele andere Zahlensysteme. In diesem Proseminar betrachten wir einige dieser Systeme, wie zum Beispiel die p-adischen Zahlen, die Quaternionen, die hyperreellen Zahlen, und die Conway-Zahlen. Als Leitfaden nutzen wir das Buch Zahlen von Ebbinghaus et al.
| 1 | C | Von den reellen zu den komplexen Zahlen | Definition und äquivalente Darstellungen von C - Fundamentalsatz der Algebra - Skizze eines Beweises |
| 2 | Qp | Von den rationalen zu den reellen Zahlen | Äquivalenz von Cauchy-Folgen - die Betragsmetrik auf Q - Ringstruktur und Ordnung der Vervollständigung |
| 3 | Äquivalente Konstruktionen von Qp | p-adische Norm - p-adische Zahlen als formale Summen - Qp als projektiver Limes | |
| 4 | Arithmetik der p-adischen Zahlen | Diophantische Gleichungen - das Henselsche Lemma - die Fortsetzung des Absolutbetrags | |
| 5 | p-adische Analysis | p-adische komplexe Zahlen - lokal analytische Funktionen - der Satz von Mahler | |
| 6 | H | Die Hamiltonschen Quaternionen | Die Brougham Bridge Formel - rechnen in H - Darstellung von H als komplexe 2x2-Matrizen |
| 7 | Satz von Frobenius | Hamiltonsche Tripel - alternative und quadratische Algebren - Beweis des Satzes | |
| 8 | Jenseits von H: O | Konstruktion der Oktaven - O als nicht assoziative Divisionsalgebra - Eindeutigkeit von O | |
| 9 | Polynome über H | Links- und Rechtswurzeln - Konjugationsklassen der Wurzeln - Fundamentalsatz für H | |
| 10 | *R | Ein bisschen Modelltheorie | Sprachen und Strukturen - elementare Äquivalenz - der Satz von Löwenheim-Skolem |
| 11 | Konstruktion eines Modells | Definition von *R - elementare Äquivalenz von R und *R - weitere zu R elementar äquivalente Körper | |
| 12 | Ein bisschen Analysis | Stetigkeit und Limes - Differential einer reellen Funktion - Integralrechnung mit hyperreellen Zahlen | |
| 13 | No | Ein alternativer Weg von Q nach R | Dedekindsche Schnitte - R als Menge der Schnitte - Dedekind-Macneille-Vervollständigung |
| 14 | Conway-Zahlen | Spiele und Zahlen - Arithmetik mit Conway-Zahlen - No |
Weitere Literatur:
- J. H. Conway, On numbers and games, 1976
- J. H. Conway & D. A. Smith, On quaternions and octonions, 2003
- R. Goldblatt, Lectures on the hyperreals: an introduction to non-standard analysis, 1998
- F. Q. Gouvêa, p-adic numbers: an introduction, 1993
- H. J. Keisler, Foundations of infinitesimal calculus, 2007
- N. Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis and zeta functions, 1977
- J. Kramer & A.-M. von Pippich, From Natural Numbers to Quaternions, 2017
- T. Y. Lam, A first course in non-commutative rings, 1991
- D. Marker, Model theory: an introduction, 2002
- A. M. Robert, A course in p-adic analysis, 2000