Dimensionsreduktion in der computergraphischen Fluidsimulation
Student: Ludwig Schmutzler
Betreuer: Dipl.-Phys. Niels von Festenberg
Verantwortlicher Hochschullehrer: Prof. Dr. rer. nat. Stefan Gumhold
Motivation
In der Computergraphik werden nicht selten komplexe hochdimensionale Beschreibungen von Naturphänomenen hervorgebracht, welche einerseits von anspruchsvollen mathematisch-physikalisch motivierten Ansätzen und Modellen herrühren, andererseits durch das Abtasten und Diskretisieren der realen Natur bedingt sind. Durch die Flut an Daten fallen hierbei zum Teil riesige Informationsmengen an. Oft jedoch liegen der gefundenen hochdimensionalen Datenmenge viel einfachere Strukturen zugrunde, mit welcher sich dieselben Vorgänge beschreiben lassen. Die Methoden der Dimensionsreduktionsverfahren finden ebenjene Strukturen, woraufhin eine Vereinfachung der Daten vorgenommen werden kann.
Beschreibung
In der vorliegenden Arbeit wurde die wohlbekannte mathematische Methode der Hauptkomponentenanalyse (PCA) in den Kontext der Computergraphik gebracht, um mit ihrer Hilfe Fluidgrenzflächensimulationen zu analysieren und zu komprimieren. Dabei wurden die theoretischen Grundlagen sowie der Algorithmus selbst detailliert vorgestellt und praktisch in einer prototypischen Anwendung umgesetzt. Durch die Analyse der Testzeitreihen und der Extraktion der Merkmalsvektoren konnten Eigenschaften gefunden werden, welche es erlaubten, ein Simulationsmodell basierend auf der überlagerung harmonischer Partialschwingungen zu definieren. Es lassen sich damit eigenständige Simulationen generieren, welche die Merkmale der analysierten Testzeitreihen aufweisen, und deren Parameter sich zur Laufzeit durch den Nutzer einstellen lassen.
Weiterhin wurde die Kernmethode in Verbindung mit der PCA als nichtlineares Verfahren untersucht. Dabei wurde der unter dem Namen Kern-PCA bekannte Algorithmus in der Theorie vorgestellt und bestehende Probleme sowie Lösungen aufgezeigt.
Ergebnisse
Die Anwendung des entwickelten Software-Prototypen zeigt die Fähigkeit der Dimensionsreduktion durch die Hauptkomponentenanalyse. Es lassen sich hierbei Kompressionsraten von durchschnittlich 3:1 bis 6:1 ausmachen. Als Gütekriterium für die Rekonstruktion einer Zeitreihe dient die akkumulierte Varianz der den verwendeten Hauptkomponenten zugehörigen Eigenwerte. Fasst man die Simulationen als Schwingungsmodelle auf, so lässt sich feststellen, dass Zeitreihen mit niedriger (zeitlicher) Dynamik in hohen räumlichen Frequenzen im Allgemeinen mit weniger Hauptkomponenten dargestellt werden können, als Zeitreihen mit hoher Dynamik in hohen Frequenzen. Ebenjenen Gebieten hoher räumlicher Frequenz sind die Hauptkomponenten zugeordnet, deren korrespondierende Eigenwerte nur noch einen geringen Anteil an der akkumulierten Varianz ausmachen.
Rekonstruktionen einer 3D-Zeitreihe bestehend aus 136 Datensätzen in Abhängigkeit der Anzahl n der Hauptkomponenten
Bei der Implementierung wurde eine Schwellwertfilterung entwickelt, welche es ermöglicht, das Optimierungsziel des PCA-Algorithmus besser auszunutzen. Hierbei können die Bereiche außerhalb der Fluidoberfläche durch eine einzige Hauptkomponente repräsentiert werden.
Anteile der Eigenwerte an der Gesamtvarianz in Abhängigkeit der Vorfilterung
Die Anwendung des Simulations-Modells zeigt, dass plausible und visuell überzeugende Animationen von Fluidoberflächen auf der Grundlage ausgewählter Zeitreihen extrapoliert werden können. Dabei beruht die Simulation auf der Analyse von Trainingsdatensätzen, somit sind nur solche Schwingungsvorgänge simulierbar, welche aus den Ausprägungen der gefundenen Hauptkomponenten hervorgehen. Die Zeitentwicklungen der Merkmale von gleichmäßigen Schwingungsvorgängen ähneln hierbei eher überlagerten Sinusschwingungen, als die von chaotischen Vorgängen, und sind somit besser approximierbar. Die Praxis zeigt, dass für solche Schwingungen meist wenige Paare von Harmonischen und Hauptkomponenten genügen, um visuell ansprechende Animationen zu erzeugen.
Ausblick
Ausgehend von den aktuellen Ergebnissen sind folgende Erweiterungen denkbar:
- Erweiterung der Schwellwertfilterung
- Weiterentwicklung von Visualisierungsalgorithmen (z.B. zur Aufbereitung von Mikrostrukturen auf der Fluidoberfläche)
- Implementierung des Kern-PCA-Verfahrens
- Weiterentwicklung des Simulationsmoduls hinsichtlich der direkten Nutzerinteraktion