Mathe Snapshots

Mathematik ist überall! Auf dieser Seite bieten wir Dir einen visuellen Einblick in einige unserer Forschungsprojekte. Viel Freude beim Durchstöbern.

Table of contents

1. 1. 1. A nonlinear bending theory for nematic LCE plates
      2. Interactive evolution of a bicontinuous structure
      3. A stochastic process with a surprising invariant distribution
      4. Nodes on quintic spectrahedra
      5. Phase field simulations of surface diffusion
      6. Fluid deformable surfaces with conserved enclosed volume
      7. Maxwell Gleichungen und die vektorielle Wellengleichung
      8. Collective movement of cells on surfaces

A nonlinear bending theory for nematic LCE plates

Sören Bartels**, Max Griehl*, Stefan Neukamm*, David Padilla-Garza*, Christian Palus**
*Technische Univesität Dresden, Professur für Angewandte Analysis
**Universität Freiburg, Abteilung für Angewandte Mathematik

Die Eingangssequenz des Videos zeigt das symmetrische Knickverhalten eines dünnen, elastischen Films (im Video ein Papierstreifen). Es wurden vergleichbare Experimente mit dünnen elastischen Filmen durchgeführt, die aus preparierten, "nematischen Flüssigkristallelastomeren" (nematic LCE) gefertigt wurden. Ein asymmetrisches Knickverhalten wurde beobachtet. Nematic LCE sind, vereinfacht beschrieben, eine Mischung aus Gummi und Flüssigkristallen. Letztere stellt man sich am besten als stabförmige Moleküle vor, die sich lokal parallel anordnen möchten, aber auf einer mittleren  Längenskalen (groß im Vergleich zur Länge der Moleküle, aber klein im Vergleich zum Streifen) die Orientierung ändern können. Diese Orientierung kann durch Verformung des elastische Films beeinflusst werden; andererseits beeinflusst die Orientierung das elastische Verhalten. In der Summe entsteht ein komplexes mechanisches Verhalten. Das im Experiment beobachtet asymmetrische Knickverhalten ist ein Beispiel hierfür.
Im Projekt stellen wir uns die Frage, wie man das mechanische Verhalten dünner nematic LCE-Filme mathematisch modellieren und verlässlich und effizient am Computer simulieren kann. Ausgangspunkt der Modellierung ist ein mechanisches Modell, welches den Film als dreidimensionales Objekt beschreibt. Dieses ist viel zu kompliziert um direkt simuliert werden zu können. Durch Methoden der angewandten Analysis wird ein vereinfachtes zweidimensionales Modell hergeleitet und eine geeignete Diskretisierung entwickelt. Die letzte Sequenz im Video zeigt einige Computersimulationen, die auf diese Weise entstanden sind.
Preprint DFG-Forschungsgruppe FOR3013

Interactive evolution of a bicontinuous structure

Axel Voigt*, Florian Stenger*,  Rainer Groh**
*Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik
**Technische Universität Dresden, Fakultät für Informatik

The installation was shown at the exibition "The best of the possible worlds" at Technische Sammlungen Dresden in 2016. It is an interactive experience of the evolution of a complex bicontinuous structure of two immiscible fluids. By pushing against an elastic display the structure evolves in time. The process is mathematically described by a Cahn-Hilliard equation, which is numerically solved by an adaptive Finite Element Method on the high performance computer JURECA at Jülich Supercomputing Centre. In each time step the structure, visualized by the fluid-fluid interface, is rendered. According to the deformation of the elastic display the corresponding time frame is projected.

A stochastic process with a surprising invariant distribution

Anita Behme*, David Oechlser*
*Technische Universität Dresden

Das Video zeigt den Pfad eines stochastischen Prozesses. Der Prozess springt an zufälligen Zeitpunkten mit der Sprunghöhe 1 nach oben. Wenn er gerade nicht springt, dann strebt er nach unten, wobei aber die Geschwindigkeit, mit der das passiert, von der Position abhängig ist.
Diese Abhängigkeit haben wir bewusst so konstruiert, dass der Prozess einen bestimmten Grenzwert besitzt. Das bedeutet, dass sich der Prozess mit fortlaufender Zeit immer mehr einer Wahrscheinlichkeitsverteilung annähert.
Im Video haben wir das illustriert, indem wir mittels eines Histogramms gemessen haben, wie lange sich der Prozess an verschiedenen Stellen aufhält.
Vielleicht erkennst du ja, welches Muster dabei entsteht?

Nodes on quintic spectrahedra

Taylor Brysiewicz*, Khazhgali Kozhasov**, Mario Kummer ***
*University of Notre Dame, **Technische Universität Braunschweig, ***Technische Universität Dresden

Die algebraische Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die abstrakte Algebra mit der Geometrie verknüpft. In der algebraischen Geometrie werden geometrische Strukturen als Nullstellenmenge einer Menge von Polynomen definiert. Ein Symmetroid ist eine Fläche im dreidimensionalen Raum besonders reichhaltiger Geometrie, welche erstmals vom britischen Mathematiker Arthur Cayley im 19. Jahrhundert studiert wurde. In den letzten Jahren tauchten diese Flächen auch im Kontext der sogenannten Semidefiniten Optimierung, einem Optimierungsverfahren, auf. Im Projekt untersuchten wir die Verteilung sogenannter Singularitäten auf Symmetroiden. Das sind Punkte, an denen die Fläche nicht glatt, sondern "spitz" ist. Das Video zeigt die 1-Parameter-Familie aller Symmtroide fünften Grades, welche tetraedrische Symmetrie aufweisen.
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Phase field simulations of surface diffusion

Marco Salvalaglio*,**, Rainer Backofen*, Axel Voigt*,**
*Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik
**Dresden Center for Computational Materials Science

The simulations show the evolution of surfaces driven by the Laplacian of the surface curvature. These evolutions are observed in nature and exploited in technological applications. They correspond, for instance, to processes such as surface diffusion on crystalline surfaces activated at high temperatures. Namely, the surface tends to evolve towards shape having as few differences in the curvature as possible: circles in two dimensions or spheres in three dimensions. However, topological changes may occur according to the initial shape, such as the formation of holes or breakup/merging of domains, driving the evolution towards complex shapes and separated domains. The evolutions reported here are obtained thanks to a convenient approach, the phase-field model, allowing for simulating the evolution of complex shapes efficiently. The equations are solved with the Finite Element Method on high-performance computers. The four evolving structures reported in the video correspond to examples from recent research activities: i) a two-dimensional ideal shape containing regions of positive and negative curvature (a “Camunian Rose”), with an illustration of the non-uniform mesh exploited for simulations; ii) a rod in contact with a substrate. Its breakup by the motion of the Laplacian of the surface curvature is commonly interpreted as Rayleigh instability; iii) merging of vertical crystals forming a suspended layer. Similar processes are exploited for fabricating devices for microelectronics (e.g., transistors and membranes for microphones); iv) evolution and breakup of a thin patch in the process called solid-state dewetting.

Fluid deformable surfaces with conserved enclosed volume

Veit Krause*
*Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik
 

Das Video zeigt die Simulation einer elastischen flüssigen Oberfläche. Diese kann man sich als sehr dünnen Flüssigkeitsfilm vorstellen. Außerdem verhält sie sich elastisch, will also starke Biegungen vermeiden. Durch das Strömem der Flüssigkeit wird Masse transportiert und die Oberfläche bewegt sich. Fließt sie von einem Punkt weg, stülpt sich die Oberfläche ein. Fließt sie zu einem Punkt hin, wölbt es sich aus. In der Simulation berücksichtigen wir, dass keine Masse entstehen oder verschwinden kann, die Gesamtfläche also konstant bleibt. Außerdem ist das eingeschlossene Volumen inkompressibel und bleibt ebenfalls konstant.
Zu Beginn des Videos ist eine stark gekrümmte Fläche gezeigt. Durch die Elastizität entstehen Biegekräfte, die die Oberfläche entspannen wollen. Dies induziert eine Strömung (dargestellt durch die Pfeile). Aufgrund der Massenträgheit kommt es zu einem Schwingen bzw. einer wellenartigen Bewegung. Durch innere Reibung wird Energie abgebaut und die Bewegungen werden langsamer, bis eine entspannte Endkonfiguration erreicht ist.
Durch den Erhalt der Gesamtfläche sowie des eingeschlossenen Volumens kann sich die Oberfläche nicht beliebig verformen und wir erhalten eine Hantel-Form.

Maxwell Gleichungen und die vektorielle Wellengleichung

Julia I.M. Hauser*
*Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik

Dies ist ein kleiner Auszug aus der Dissertation „Space-Time Methods for Maxwell's Equations-Solving the Vectorial Wave Equation“.

Collective movement of cells on surfaces

Axel Voigt*, Dennis Wenzel*, Lea Happel*
*Technische Universität Dresden, Fakultät für Mathematik

Wir simulieren die koordinierte Bewegung von biologischen Zellen. Um die Prozesse modellieren zu können, abstrahieren wir die Darstellung von Zellen und reduzieren sie auf die für uns interessanten Punkte Form, Bewegung und Interaktion. Mathematisch wird eine energiebasierte Formulierung verwendet, die mittels eines Gradientenflusses minimiert wird. Dies lässt sich als System von partiellen Differentialgleichungen schreiben und numerisch mit einer Finite-Elemente-Methode lösen. Abhängig von der Anzahl der Zellen, der Stärke der Bewegung und der Verformbarkeit zeigt sich unterschiedliches Verhalten. So ergibt sich zum Beispiel für sechs Zellen eine gemeinsame Rotation, während für 92 Zellen eine zufällige Bewegung zu beobachten ist.
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