WIA-Seminar
Inhaltsverzeichnis
Seminar: Variationsrechnung und Gamma-Konvergenz
Viele Fragestellungen in der Analysis, der Theorie partieller Differentialgleichungen, der Geometrie, sowie Problemstellungen in den Ingenieurs- und den Wirtschaftswissenschaften lassen sich als Variationsproblem formulieren: Minimiere ein Funktional F (u) auf einer Klasse geeigneter Funktionen u. Beispielsweise führen Randwertprobleme bei elliptischen Gleichungen und Systemen (z.B. das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator, das System der linearen Elastizität), sowie viele nichtlineare Modelle der Mechanik auf Integralfunktionale der Form
F(u) := ∫Ω W (x, Du (x)) dx,
wobei u : Ω à ℝn zu einem geeignetem Sobolev-Raum gehört. In einem ersten Teil des Seminars beschäftigen wir uns mit grundlegenden Fragestellungen der Variationsrechnung, wie etwa
- Direkte Methode der Variationsrechnung
- Konvexitätsbegriffe für Integralfunktionale
- Relaxation
In vielen Fällen beschreiben Variationsprobleme ein Verhalten, dass sich aus dem Zusammenspiel auf verschiedene (Längen-)Skalen ergibt. In diesen Situationen wird das Funktional F = Fɛ von einem oder mehreren (sehr großen oder sehr kleinen) Parametern abhängig sein und man ist geneigt ein einfacheres Modell durch die Betrachtung von Grenzübergängen zu gewinnen. Die Gamma-Konvergenz stellt Methoden bereit solche Untersuchungen mathematisch rigoros durchzuführen. Im zweiten Teil des Seminars beschäftigen wir uns mit Grundzügen der Gamma-Konvergenz und diskutieren einige Resultate aus diesem Bereich, wie etwa
- Periodische Homogenisierung von Integralfunktionalen
- Dimensionsreduktion: Herleitung von 1d-Modellen für elastische Stäbe aus der 3d Theorie
- Evolutionsprobleme (z.B. Minimizing Movements)
Kursmaterial
Vorläufiger Ablauf
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5.4. |
Vorbesprechung |
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12.4. |
Neukamm |
Einführung I |
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19.4. |
Neukamm |
Einführung II |
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26.4. |
Schäffner |
Einführung III (Gamma-Konvergenz) |
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3.5. |
Varga |
Einführung IV (Konvexe Analysis) |
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10.5. |
entfällt |
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17.5. |
Pfingstferien |
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24.5. |
Hoppe |
Regularität von Minimierern |
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31.5. |
Heyne |
Euler-Lagrange Gleichung, Nebenbedingungen |
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7.6. |
Stimpert |
Polykonvexität, Existenzsatz von J. Ball |
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14.6. |
Hünniger |
Homogenisierung (eindimensional) + Beispiel: Riemannsche Metrik |
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21.6. |
Griehl |
Dimensionsreduktion in der Elastizität |
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28.6. |
Varga |
Dimensionsreduktion und Homogenisierung elastischer Stäbe (2d-1d) |
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6.7. |
Bauer |
Homogenisierung mehrdimensional, nicht konvex |
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12.7. |
Stahn |
Singular perturbations as a selection criterion for periodic minimizing sequences |
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tba |
Claus |
Minimizing Movements along a sequence |
Kursinformationen
- Dozent: Prof. Dr. Stefan Neukamm
- Ort und Zeit: Dienstag 3. DS, WIL C 204
Themen werden in der ersten Seminareinheit (Termin wird noch bekanntgegeben) vergeben. - Modul: Modul Math Ma WIA
- Das Seminar basiert auf Originalarbeiten und Auszügen aus Lehrbüchern. Zum Nachschlagen wird folgende Literatur empfohlen:
- Gamma-Convergence for Beginners (Braides)
- Local Minimization, Variational Evolution and Gamma-convergence (Braides)
- PDE (Evans)
- Modern Methods in the Calculus of Variations (Fonseca, Leoni)
- Sprache: Deutsch oder Englisch bei Bedarf
- Erforderliche Vorkenntnisse: Funktionalanalysis (cf. Math-Ba-HANA), Grundlagen über Sobolevräume.