Wintersemester 2013/14

VORLESUNGEN

Analysis 3 (Aufbaumodul)

3+1+0	[Modul Math Ba ANAA]
Zielgruppe	Bachelor-Studiengang Mathematik (3. Sem.)
Im dritten Teil des Zyklus der Analysisvorlesungen beschäftigen wir uns hauptsächlich mit der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, besprechen aber auch Integralsätze auf Mannigfaltigkeiten. Gewöhnliche Differentialgleichungen der Form u'(t)=f(t,u(t)) treten in vielen Anwendungen in den Naturwissenschaften auf, z.B. in der Mechanik (Bewegung eines Pendels, Bewegung von Massepunkten in einem Gravitationsfeld) oder in der Biologie (Populationsdynamik). Wir besprechen Lösungsverfahren für spezielle Differentialgleichungen, allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitssätze, lineare Differentialgleichungen, und behandeln qualitative Fragen wie Stabilität von Gleichgewichtslösungen, Existenz von periodischen Lösungen etc.

Funktionalanalysis (Vertiefung)

3+1+0	[Modul Math Ma FANA]
Zielgruppe	Master-Studiengänge Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik
In dieser Vertiefungsvorlesung Funktionalanalysis beschäftigen wir uns mit der harmonischen Analysis (Fourieranalysis und Analysis der singulären Integrale) für Banachraumwertige Funktionen und für Operatoren. Viele moderne Fragen der harmonischen Analysis in Banachräumen haben ihren Ursprung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen oder der Signalanalyse, und obwohl dies eine Vorlesung in linearer Funktionalanalysis ist, erstrecken sich die Anwendungen gerade auch auf nichtlineare Probleme. Konkret wollen wir folgende drei große Themen besprechen: die Fouriertransformation für Banachraumwertige Funktionen und Fouriermultiplikatoren, die Hilberttransformation und singuläre Integraloperatoren, quadratische Abschätzungen und H^infty-Kalkül für unbeschränkte Operatoren.
Voraussetzungen	Funktionalanalysis (z.B. im Modul Höhere Analysis)
Script	Das Skript zu dieser Vertiefungsvorlesung Funktionalanalysis ist hier verfügbar (letzte, aktualisierte, nicht vollständige Version vom 15. Januar 2014)

SEMINAR Analysis

0+2+0

[Modul Math Ba SEM]

Zielgruppe

Bachelor-Studiengang Mathematik (5. Sem.)

Im kommenden Wintersemester biete ich im Studiengang Mathematik (Bachelor) ein Seminar mit dem Thema "Der Brouwersche Abbildungsgrad" an. Man könnte sagen, daß der Brouwersche Abbildungsgrad zählt, wie viele Lösungen eine nichtlineare Gleichung F(x)=y in einer Teilmenge des R^N besitzt. Das ist sehr praktisch, wenn man überhaupt Existenz von Lösungen zeigen möchte. Um den Brouwerschen Abbildungsgrad einführen zu können, benötigt man nur Kenntnisse aus der Grundvorlesung Analysis. Man erhält mit ihm wichtige und ästhetische Sätze wie den Brouwerschen Fixpunktsatz, den Antipodensatz von Borsuk und Ulam und das Igeltheorem. Verallgemeinerungen des Abbildungsgrades für Funktionen auf unendlichdimensionalen, normierten Räumen könnten am Ende des Semesters besprochen werden; dann würde sich das Seminar mit der Vorlesung Funktionalanalysis berühren. Konkret sollen folgende Themen besprochen werden; die Reihenfolge orientiert sich im Wesentlichen am Buch von Deimling, Nonlinear Functional Analysis (und hier insbesondere am Kapitel 1):

• Der Fortsetzungssatz von Tietze und der Weierstraßsche Approximationssatz
• Der Satz über die lokale Umkehrfunktion und das Lemma von Sard
• Lineare Algebra und die Eindeutigkeit des Abbildungsgrades
• Konstruktion des Abbildungsgrades (2 Vorträge)
• Eigenschaften und erste Anwendungen des Abbildungsgrades: der Brouwersche Fixpunktsatz, der Satz von Perron-Frobenius, periodische Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen, Retrakte, Surjektivität von Abbildungen, das Igeltheorem (2 Vorträge)
• Der Satz von Borsuk
• Die Produktformel und der Jordansche Kurvensatz
• Der Fixpunksatz von Schauder bzw. Tychonoff
• Der Leray-Schaudersche Abbildungsgrad und erste Anwendungen

Neben dem Buch von Deimling empfehle ich das Buch von Drabek und Milota, Methods of Nonlinear Analysis.

INTERNETSEMINAR

17. Internetseminar 'Positive Operator Semigroups and Applications'

0+2+0

Zielgruppe

Mathematische Diplom- und Masterstudiengänge,
Studierende Physik

Im WS 2013 /14 und im darauffolgenden SS 2014 findet wieder das internationale Internetseminar über Evolutionsgleichungen statt. Titel des diesjährigen Internetseminars ist Positive Operator Semigroups and Applications

The 17th Internet Seminar on Evolution Equations is devoted to positive linear dy- namical systems. Motivated by numerous applications in life sciences, we present an operator theoretical treatment to study quantitative and qualitative properties of positive semigroups both in finite and infinite dimension. The lectures are at a beginning graduate level and assume basic familiarity with linear algebra, functional analysis as well as with ordinary and partial differential equations.

Es gibt die Möglichkeit, nach dem Wintersemester an einer Projektphase und einem internationalem Workshop teilzunehmen.