Sommersemester 2016

Zielgruppe

Zielgruppe

Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Einführung in die Funktionalanalysis aus dem Bachelorstudium, in der folgende Themen besprochen werden sollen:

• Spektraltheorie beschränkter und unbeschränkter Operatoren auf Banachräumen, insbesondere auch die Spektraltheorie kompakter Operatoren und die Fredholmsche Alternative.
• Spektraltheorie von Operatoren auf Hilberträumen, insbesondere der Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren. In diesem Zusammenhang, Einführung in die Theorie der Banachalgebren und der C*-Algebren, Satz von Gelfand.
• Theorie der Operatorhalbgruppen. Grundlegende Eigenschaften von C₀-Halbgruppen, Zusammenhang zu Cauchyproblemen auf Banachräumen, Spektraltheorie, Störungstheorie und qualitative Eigenschaften von C₀-Halbgruppen wie etwa Regularität, Positivität und Asymptotik.

Die Vorlesung wird gemeinsam mit Frau Prof. Breckner gelesen.
Frau Prof. Breckner von der Babes-Bolyai Universität Cluj-Napoca ist als TU Dresden Senior Fellow Gast im Institut für Analysis. Sie wird voraussichtlich die Punkte 01. und 02. vorlesen. Herr Prof. Chill liest in der zweiten Hälfte des Sommersemesters den Punkt 03. vor. Unterrichtssprache ist Deutsch.

Zielgruppe

Bachelor-Studiengang Mathematik (5. Sem.), Master Höheres Lehramt an Gymnasien für Modul Math-MaL-VERT-G im 3. Sem.; Studierende Physik - Nebenfach Mathematik

Die Funktionentheorie ist die Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, und gehört zu den ästhetischsten Teilgebieten der Analysis mit Verbindungen zur Geometrie, der Zahlentheorie, der Funktionalanalysis / Operatortheorie oder der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.
Im ersten Teil werden wir kurz die wichtigsten Eigenschaften holomorpher (= komplex differenzierbarer) Funktionen einer komplexen Variablen besprechen. Unter anderem werden wir sehen, daß eine komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar ist, womit sich die Theorie wesentlich von der Analysis der Funktionen einer reellen Veränderlichen unterscheidet.
Wir lernen aber noch andere überraschende Eigenschaften holomorpher Funktionen kennen. Im zweiten Teil sollen Verbindungen zu klassischen Problem der Geometrie und der Zahlentheorie (Riemannsche Vermutung) aufgezeigt werden. Die Riemannsche Vermutung gehört zu den 23 Hilbertschen Problemen aus dem Jahr 1900 und zu den sieben Milleniumsproblemen aus dem Jahr 2000. Für einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zur Riemannschen Vermutung ist ein Preis von einer Million Dollar ausgelobt.

Im WS 2015 /16 und SoSe 2016 findet wieder das
internationale Internetseminar über Evolutionsgleichungen statt.
Titel des diesjährigen Internetseminars ist  Infinite dimensional analysis.

More precisely, we consider separable infinite dimensional Banach spaces endowed with Gaussian measures and we describe their main properties; in particular we are interested in integration by parts formulae that allow the definition of gradient and divergence operators.
Once these tools are introduced, we study Sobolev spaces. In the context of Gaussian analysis the role of the Laplacian is played by the Ornstein-Uhlenbeck operator.
We study the realisation of the Ornstein-Uhlenbeck operator and of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup in spaces of continuous functions and in L^p spaces.
In particular, for p = 2 the Ornstein-Uhlenbeck operator is self-adjoint and we show that there exists an orthogonal basis consisting of explicit eigenfunctions (the Hermite polynomials) that give raise to the "Wiener Chaos Decomposition".

Die internationalen Internetseminare über Evolutionsgleichungen bestehen aus drei Phasen.
In der ersten Phase von Oktober bis Februar gibt es wöchentlich eine Vorlesung im Internet, die wir gemeinsam lesen wollen.
Teilnehmer an dieser Veranstaltung ''Wissenschaftliches Arbeiten'' haben die Möglichkeit, im folgenden Sommersemester 2016 an der Projektphase und am abschließenden Workshop des Internetseminars teilzunehmen. Die Teilnahme am Workshop ist aber keine Voraussetzung, um dieses Modul zweistündig angerechnet zu bekommen. Bei Teilnahme bis zum Workshop wird das Modul vierstündig angerechnet.