Modellreduktion in Raum und Parameterdimension – Schädigungsbasierte Modellierung polymorpher Unschärfe im Zusammenhang mit Robustheit und Zuverlässigkeit
Eine Weiterführung des Themas findet aktuell in der zweiten Bearbeitungsphase statt.
Die Ermittlung von Robustheit und Zuverlässigkeit realistischer Strukturen mit polymorpher Unschärfe erfordert numerische Simulationen mit einer sehr hohen Anzahl an Freiheitsgraden und Parametern. Einige dieser Parameter sind sicher in der Hinsicht, dass sie von vornherein bekannt sind. Die zweite Gruppe von Parametern ist jedoch ungenau, vage, unsicher und basiert auf unvollständiger Information. In der zuletzt genannten Gruppe sind viele Parameter, die das Schädigungs- und Versagensverhalten wesentlich beeinflussen und so einen starken Einfluss auf die Tragfähigkeit einer Struktur haben. Es ist von großer Bedeutung, die Unsicherheit und Unschärfe dieser Parameter in die Modellierung einzubeziehen. Das wesentliche Ziel des Projektes ist es, dafür einen Modellierungsrahmen basierend auf Techniken der erweiterten Modellreduktion und der hierarchischen Tensorapproximation aufzubauen. Damit soll der numerische Aufwand der Berechnung erheblich reduziert werden. Die Idee ist, eine teilweise bereits vorhandene Modellreduktionstechnik mit hierarchischer Tensorapproximation so zu kombinieren, dass unsichere oder unscharfe Größen mittels einfacher funktionaler Auswertung bestimmt werden können. Größen von Interesse sind z.B. bestimmte Spannungs- oder Verformungskomponenten, die nicht überschritten werden dürfen. Es ist auch denkbar zu verlangen, dass die Schädigungsvariable einen bestimmten Wert unterschreitet.
Obwohl der Fokus des Projektes auf Strukturen des Bauingenieurwesens liegt, wird beabsichtigt, die Methode relativ allgemein anwendbar zu gestalten und so viele Kooperationsmöglichkeiten innerhalb des SPP 1886 zu ermöglichen. Das neue Simulationswerkzeug soll für unterschiedliche Materialmodelle und Geometrietypen sowie verschiedene Beschreibungen von Unsicherheit und Unschärfe offen sein. Die Flexibilität bezüglich des zuletzt genannten Aspektes ist zum einen durch die Möglichkeit gegeben, den Parameterraum auf unterschiedliche Weisen anzugeben. Zum anderen wird die Quantifizierung von Unsicherheit und Unschärfe durch die funktionale Darstellung der interessierenden Größen erheblich vereinfacht.
Ziele
- Modellreduktion
- Für Schadensmodellierung
- Erweiterung für Versagen
- Hierarchische Tensorapproximation
- Erweiterung von HTA für Schadens- und Versagensmodellierung
- Verbindung zur Modelreduktion
- Polymorphe Unschärfequantifizierung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Ermittlung von Robustheit und Zuverlässigkeit realistischer Strukturen mit polymorpher Unschärfe erfordert numerische Simulationen mit einer sehr hohen Anzahl an Freiheitsgraden und Parametern. Einige dieser Parameter sind sicher in der Hinsicht, dass sie von vornherein bekannt sind. Die zweite Gruppe von Parametern ist jedoch ungenau, vage, unsicher und basiert auf unvollständigen Informationen. In der zuletzt genannten Gruppe sind viele Parameter, die das Schädigungs- und Versagensverhalten wesentlich beeinflussen und so einen starken Einfluss auf die Tragfähigkeit einer Struktur haben. Es ist von großer Bedeutung, die Unsicherheit und Unschärfe dieser Parameter in die Modellierung einzubeziehen. Zum Erreichen der Ziele ist es notwendig, einen Modellierungsrahmen basierend auf Techniken der erweiterten Modellreduktion und der hierarchischen Tensorapproximation aufzubauen.
Adaptive Proper Orthogonal Decomposition (APOD): Klassische Modellreduktionsmethoden sind seit über 50 Jahren bekannt. Auch im Bereich der Kontinuumsmechanik werden sie bereits seit über 20 Jahren angewendet. Für die projektionsbasierte Proper Orthogonal Decomposition (POD) werden zunächst für bestimmte Parameterkombinationen Simulationen gerechnet und allgemeine Informationen über das Verhalten des Problems extrahiert. Typischerweise haben viele Problemstellungen charakteristische Verformungszustände, welche auch bei leichten Variationen einzelner Parameter ähnlich sind. Diese charakteristischen Verformungszustände werden in der Literatur in der Regel „Moden“ oder im Bereich der Mathematik „Basisfunktionen“ genannt. Für weitere Berechnungen von sehr ähnlichen Problemen können diese Moden genutzt werden, um die Berechnungszeit, vor allem die Zeit zum Lösen des Gleichungssystems, zu reduzieren. Hierbei können Ergebnisse erzielt werden, die nahezu identisch zu entsprechenden Referenzlösungen sind. Insbesondere für annähernd lineare Probleme ist die Methode äußerst effizient. Für Probleme, die Plastizität und Schädigung berücksichtigen, leidet die Effizienz bzw. die Genauigkeit der POD drastisch. Um die Modellreduktion auch für solche nichtlinearen Probleme anzuwenden, wurde in der ersten Förderphase des Projektes eine Adaptive Proper Orthogonal Decomposition entwickelt, welche innerhalb der Simulationen die vorhandenen Nichtlinearitäten berücksichtigt. Sie wählt adaptiv aus einer Auswahl an vorhanden Moden aus, so dass für jeden Zustand die passendsten Moden verwendet werden. Hierbei konnte die Genauigkeit der Ergebnisse im Vergleich zur POD bei ähnlichem Berechnungsaufwand deutlich verbessert werden.
Hierarchische Tensorapproximation (HTA): Um die verschiedenen Einflüsse der Parameter zu berücksichtigen und entsprechende Dichtefunktionen aufstellen zu können, müssen die Zielfunktionen über einen hochdimensionalen Raum integriert werden. Da die entsprechenden Funktionen in der Regel nicht bekannt sind, ist es häufig unumgänglich, eine sehr große Anzahl an Samples zu generieren. Da dieses auch mit Modellreduktionsmethoden noch zu teuer ist, wurde eine Niedrigrang Approximation erzeugt, welche es ermöglicht, diese große Anzahl an Samples zu generieren. Außerdem wurde die Niedrigrang Approximation genutzt, um Rückschlüsse auf die Modellreduktion zu ziehen und durch eine intelligente Wahl der Vorberechnungen die Ergebnisse der reduzierten Rechnungen zu verbessern.
Wesentliche Projektresultate
-
Entwicklung der Adaptive Proper Orthogonal Decomposition (APOD)
-
Anwendung der APOD für Probleme mit Plastizität und Schädigung
-
Training der Hierarchischen Tensorapproximation mit reduzierten Berechnungen
-
Nutzung der Hierarchischen Tensorapproximation zur Verbesserung der Modellreduktion
-
Nutzung der Kombination von APOD und HTA zur Durchführung von polymorpher Unsicherheitsquantifizierung
-
Erstellung und Testung eines Ersatzmodells mittels eines Gauß Prozesses für ein Problem mit Plastizität, Schädigung und Zufallsfeldern sowie Durchführung der Unsicherheitsquantifizierung
- Kastian, S.; Reese, S.:
An adaptive way of choosing significant snapshots for the Proper Orthogonal Decomposition, IUTAM Symposium on Model Order Reduction of Coupled Systems, Springer 2019 Link - Kastian, S.; Moser, D.; Grasedyck, L.; Reese, S.:
Elsevier: Proper orthogonal decomposition (POD) combined with hierarchical tensor approximation (HTA) in the context of uncertain parameters, CMAME 2019; submitted (Juli 11, 2019) - Pivovarov, D.; Willner, K.; Steinmann, P.; Brumme, S.; Müller, M.; Srisupattarawanit, T.; Ostermeyer, G.-P.; Henning, C.; Ricken, T.; Kastian, S.; Reese, S.; Moser, D.;
Grasedyck, L.; Biehler, J.; Pfaller, M.; Wall, W.; Kolsche, T.; Estorff, O. v.; Gruhlke, R.; Eigel, M.; Ehre, M.; Papaionnou, I.; Straub, D.; Leyendecker, S.:
Challenges of order reduction techniques for problems involving polymorphic uncertainty, GAMM-Mitteilungen 2019 Link - Eggersmann, R.; Kirchdoerfer, T.: Reese, S; Stainier, L.; Ortiz, M.:
Model-free Data-driven Inelasticity, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Elsevier; 2019, Vol. 350, pp 81-99 Link - Fassin, M.; Eggersmann, R.; Wulfinghoff, S.; Reese, S.:
Efficient algorithmic incorporation of tension compression asymmetry into an anisotropic damage model, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Elsevier 2019, Vol. 354, pp 932-962 Link